小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。ABC思考．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？CABABCM已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1.作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.NID例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切2.过点I作IDBC⊥，垂足为D.3.以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点.这个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。O图2ABC名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．oABCOABC1.如图1，△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆，点O叫△ABC的，它是三角形的交点。外接内接外心三边垂直平分线2.如图2，△DEF是⊙I的三角形，⊙I是△DEF的圆，点I是△DEF的心，它是三角形的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三个角的平分线DEFG.O3.如上图，四边形DEFG是⊙O的四边形，⊙O是四边形DEFG的圆.内切外切例2已知：如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F，且AB＝9厘米，BC＝14厘米,CA＝13厘米,求AF、BD、CE的长。AECDBFO（2）若∠A=80°，则∠BOC=度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴∠BOC=180°－(1∠＋∠3)=180°－(25°＋35°)练习1.如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO=120°)1(32)4(同理∠3=4=ACB=∠∠70=35°2121∴∠1=2=ABC=∠∠50°=25°2121理由：∵点O是△ABC的内心，∴∠1＋∠3=（∠ABC+ACB∠）21∴∠1=ABC∠，∠3=ACB∠2121=180°－（90°－∠A）21=（180°－∠A）21=90°+∠A21=90°－∠A21答：∠BOC=90°+A∠21（4）试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。ABCO)1(32)4(在△OBC中，∠BOC=180°－（∠1＋∠3）练习2：△ABC的内切圆的半径为r，△ABC周长为L，求△ABC的面积S。COBA•DEF三角形面积三角形面积（（LL为三角形周为三角形周长，长，rr为内切圆为内切圆半径）半径）rLS21r练习3.如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DBABCO12345D证明：连接BO，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=2∠，同理∠3=4∠，而∠BOD=1+3∠∠，∠OBD=4+5∠∠，又∵∠2=5∠，∴∠BOD=OBD.∠∴DO=DB.
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