灿若寒星制作灿若寒星制作专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．解：(1)连接AD， AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD， O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC， DE⊥AC，∴DE⊥OD， OD为圆的半径，∴DE与圆O相切(3) AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF， AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF， D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝62－32＝33，则DE＝12BF＝332圆与相似【例2】(2016·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝2，DF＝2BF，求AH的值．分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得BCBG＝ABBC，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.灿若寒星制作灿若寒星制作解：(1)连接CD， BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°， ∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线(2) CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又 ∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴BCBG＝ABBC，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝43， CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD， DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝BC2－FB2＝42，∴CG＝CF＋FG＝52，在Rt△BFG中，BG＝BF2＋FG2＝32， BG·BA＝48，∴BA＝82，∴AG＝52，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝43， △ABC∽△CBG，∴ACCG＝BCBG，∴AC＝CB·CGBG＝2033，∴AH＝AC－CH＝8331．(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．解：(1) 对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO， ∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD， OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC， ∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3) ∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又 ∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴DCAD＝DEDC，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝25x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(25x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝（25x）2－（4x）2＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝ADDC＝4x2x＝22．(2016·安顺)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝22，BC＝2，求⊙O的半径．灿若寒星制作灿若寒星制作解：(1)直线CE与⊙O相切.理由如下： 四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又 ∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE. ∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切(2) tan∠ACB＝ABBC＝22，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝2，∴AC＝6.又 ∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝22，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝CD...
