专题16《对角互补模型》破解策略1．全等型之“90°”如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC；（3）212OCDOCESSOC．证明方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°．所以∠MCD＝∠NCE，从而△MCD≌△NCE（ASA），故CD＝CE．易证四边形MONC为正方形．所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝2OC．所以2212OCDOCEMONCSSSONOC正方形．方法二：如图，过C作CF⊥OC，交OB于点F．易证∠DOC＝∠EFC＝45°，CO＝CF，∠DCO＝∠ECF．所以△DCO≌△ECF（ASA）所以CD＝CE，OD＝FE，可得OD＋OE＝OF＝2OC．所以212OCDOCEOCFSSSOC．【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：（1）CD＝CE；（2）OE－OD＝2OC；（3）212OCEOCDSSOC．如图，证明同上．2．全等型之“120”如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则：（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝OC；（3）234OCDOCESSOC．证明方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．NMAOBDCEFAOBDCE所以2324OCDOCEONCSSSOC易证△MCD≌△NCE（ASA），所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形．易证△DCO≌△ECF（ASA）．所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC，∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝43OC2【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝43OC2如图，证明同上．3、全等型之“任意角”如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，则：（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC·cos；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC2·sincos证明：方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N易证△MCD≌△NCE（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC2·sincos方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝180°－2，交OB于点F．易证△DCO≌△ECF（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC2·sincos【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cos；（3）S△ODC－S△OEC＝OC2·sincos如图，证明同上4、相似性之“90°”如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N易证△MCD∽△NCE，∴tanCMCNCDCEMDNE，即CE＝CD·tan方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．易证△DCO∽△ECF，∴tanCOCFCDCEODFE，即CE＝CD·tan方法三：如图，连接DE．易证D、O、E、C四点共圆∴∠CDE＝∠COE＝，故CE＝CD·tan【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE＝CD·tan如图，证明同上．例题讲解例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．MNEOBACD（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？（2）如图2，若∠BAC＝，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？解：（1）BD＋CD＝3AD如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F．由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30°易证△AEB≌△AFC∴BD＋CD＝2DE＝3AD⑵BD＋CD＝2AD?sin2．如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．则△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．作AF⊥DE于点F，则∠FAD＝2．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2AD?sin2．例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F．⑴求证：PA＝PE；⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD＝10，CD＝8，求AP：PE的值；⑶如图3，在⑵的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？解：⑴如图4，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知条件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△APM≌△EPN．故AP＝PE．⑵如图5，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM∥AD，PN∥CD．所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得PMBPPNADBDCD，所以54PMADPNCD．图4ADPBECNM图3ADBEPFCADBPCE...
