4.因动点产生的将军饮马问题1.如图，一次函数112yxb＝＋的图象l与二次函数22yxmxb＝－＋＋的图象C都经过点01B（，）和点C，且图象C过点250A（，）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使21yy＞成立的x取值的所有整数和为S，若S是关于x的方程13(1)013xax的根，求a的值；（3）若点FG、在图象C上，长度为5的线段DE在线段BC上移动，EF与DG都始终平行于y轴．当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求一点P，使PDPE＋最小，求出点P的坐标．解析：（1）把25001AB（，）、（，）代入22yxmxb＝－＋＋解得41mb＝，＝∴二次函数的解析式为2241yxx＝－＋＋22241(25)yxxxQ＝－＋＋＝－－＋∴二次函数的最大值为5（2）11112byxQ＝，＝＋由1211yx＝＋与2241yxx＝－＋＋联立，求得711()24C，使21yy＞成立的x取值范围是702x＜＜所有整数和1236S＝＋＋＝，代入方程13(1)013xax得13(1)60163a，解得17a（3）作EHDG于H设111212DxxEtt（，＋），（，＋），其中702xt＜＜＜则1111()()2221DHtxtx＝＋－＋＝－，EHtx＝－在RtDEHV中，222DHEHDE＋＝即2221()()(5)4txtx－＋－＝22txtx－＝，＝＋21412()212GxxxExx（，－＋＋），（＋，＋＋），2()2221(4)Fxxx（＋，－＋＋＋＋）由题意，四边形DEFG为梯形，要使面积最大，则DGEF＋最大而2211()41124212()()[1()]22DGEFxxxxxx＋＝－＋＋－＋－＋＋＋＋－＋＋223323323(8)4xxx＝－＋＋＝－－＋∴当34x＝时，四边形DEFG的面积最大3111119(),()4848DE，，作点D关于x轴的对称点D，连接DE交x轴于点P，则点P为所求311()48D，，易求直线DE的解析式为1589832yx令0y＝，解得8960x89(0)60P，2.已知：直线2ly：＝－，抛物线2yaxbxc＝＋＋的对称轴是y轴，且经过点0120（，－），（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：POPQ＝．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：①如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线于点AB、．分别过AB、两点作直线l的垂线，垂足分别为MN、，连接OMON、，求证：OMON；②如图③，点11D（，），试探究在抛物线上是否存在点F，使得FDFO＋取得最小值．若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1） 抛物线2yaxbxc＝＋＋的对称轴是y轴2yaxc＝＋，把0120（，－），（，）代入，得：140cac解得141ac∴抛物线的解析式为2114yx＝－（2）设21(1)4Pmm，，则2141OEmPEm＝，＝－221211144PQmm＝－＋＝＋222114POOEPEmPOPQ＝（3）AMlBNlAMBNOCQPP①，，AMOMOCBNONOC＝，＝由（2）知，AMAOBNBO＝，＝AOMAMOBONBNO＝，＝AOMMOCBONNOC＝，＝180AOMMOCBONNOCQ＋＋＋＝90MOCNOC＋＝OMON②作FHlH于，则FDFOFDFH＋＝＋当DFH、、三点在同一条直线上时，FDFO＋取得最小值把1x＝代入2114yx，得34y∴满足条件的点F的坐标为314（，－）3.已知平面直角坐标系中两定点1040AB（－，）、（，），抛物线220yaxbxa＝＋－（）过点AB、，顶点为C，点0Pmnn（，）（＜）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若32m＞，当APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移502tt（＜＜）个单位，点CP、平移后对应的点分别记为CP、，是否存在t，使得首尾依次连接ABPC、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解析：（1） 抛物线22yaxbx＝＋－过点1040AB（－，）、（，）2016420abab解得1232kb∴抛物线的解析式为221322yxx＝－－22132213252()228yxxxQ＝－－∴顶点C的坐标为325()28，（2）若P点在x轴上方，显然PAB或PBA为钝角，则APB必为锐角，不合题意若P点在x轴下方，当P点与抛物线和y轴交点02D（，－）时2225ADOAOD＝＋＝，22222025BDOBODAB＝＋＝，＝22290ADBDABADB＋＝，＝由抛物线的对称性可知，点D关于抛物线对称轴的对称点32E（，－）也满足90AEB＝以AB为直径作圆，则DE、均在圆上，抛物线上点A到D及E到B之间的部分在圆内当P点在这两个范围内运动时，满足APB为钝角10m－＜＜或34m＜＜（3）32mQ＞，APB为直角∴由（2）知P点坐标为32（，－）由平移的性质知PCPC＝ABQ与PC均为定值，要使ABPC、、、所...
