中考数学专题1动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．DNCMBA（1）当MNAB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DEAB∥交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．ABMCNED ABDE∥，ABMN∥．∴DEMN∥．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）∴MCNCECCD．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）∴1021035tt．解得5017t．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MNNC时，如图②作NFBC交BC于F，则有2MCFC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） 4sin5DFCCD，∴3cos5C，∴310225tt，解得258t．ABMCNFD②当MNMC时，如图③，过M作MHCD于H．则2CNCH，∴321025tt．∴6017t．ABMCNHD③当MCCN时，则102tt．103t．综上所述，当258t、6017或103时，MNC△为等腰三角形．【例2】在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o．由正方形ADEF得AD=AF， ∠DAF=∠BAC=90o，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD．【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时， ∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ，∴44CPxx，24xCPx．②点D在线段BC延长线上运动时， ∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作ACAG交CB延长线于点G，则ACFAGD．CF⊥BD，△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ，...
