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第三章微分中值定理小结VIP专享VIP免费

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第三章小结学院:创新实验学院专业:生物技术班级:102姓名:许健龙学号:2010015065日期:2010-12-5一、微分中值定理1)罗尔定理(拉格朗日中值定理的特殊情况):表述,推导2)拉格朗日中值定理:表述,推导,几何意义A.推论1:如果函数在区间Ι上的导数恒为零,那么在区间Ι上是一个常数。B.推论2:若在上成立,,那么注*C.推出有限增量公式D.推广:泰勒中值定理3)柯西中值定理:表述,推导二、洛必达法则1)型:定理1();定理2()2)型:定理1();定理2()三、泰勒公式1)泰勒中值定理:表述,推导2)泰勒公式A.拉格朗日余项B.佩亚诺型余项C.阶泰勒多项式D.带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式E.带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式F.带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式;G.带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式3)几种常见的微分公式A.其中;B.;C.其中D.其中;E.其中;四、函数的单调性与曲线的凹凸性1)单调性的判定:设函数在上连续,在内可导;1、如果在内,那么函数在上单调增加;2、如果在内,那么函数在上单调减少。注*一般的,如果在某区间的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或)负时,那么在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。2)曲线的凹凸性与拐点:定义1;定义2;判定。注*拐点的切线必定穿过曲线五、函数的极值与最大值最小值1)极值定义A.必要条件:设函数在处可导,且在处取得极值,那么。B.第一充分条件:设函数在处连续,且在的某去心邻域内可导;1、若时,,而时,则在处取得极大值;2、若时,,而时,则在处取得极大值;3、若时,的符号保持不变,则在处没有极值。证明C.第二充分条件:设函数在处具有二阶导数且,那么1、当时,函数在处取得极大值;2、当时,函数在处取得极小值。证明D.步骤:1、求出导数;2、求出的全部驻点与不可导点;3、考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;4、求出各极值点的函数值,就得函数的全部极值2)最大值最小值(一般列表求简便)六、函数图形的描绘A.确定函数的定义域及函数所具有的某些特征(如奇偶性、周期性等)并求出函数的一阶导数和二阶导数;B.求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点,并求出函数的间断点及和不存在的点,用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;C.确定在这些部分区间内和的符号,并由此确定函数图形的升降和凹凸,极值点和拐点;D.确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;E.算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值,定出图形上相应的点;为了把图形描绘得准确些,有时还需要补充一些点;然后结合第三、四步得到的结果,联结这些点画出函数的图形。注*渐进线的求法1、水平:;2、铅直:;3、斜渐近线:且则七、曲率1)弧微分A.弧微分公式B.推导方法2)曲率及其计算公式A.曲率公式1、2、参数方程推导出3)曲率圆与曲率半径(曲率中心、曲率半径、曲率中心的定义)曲率中心的计算公式注*曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数

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