中学物理中的极值问题一、找极值条件和函数极值例1:一条河宽为d，水流速度v1=2m/s，有一条小船在静水中的速度为v2=1m/s.求小船过河的最小位移。解：2cosdtv（1）12sinxtvv（2）y=dS=22xy当x最小时，总位移最小。（1）带入（2），并将已知条件代入得：2(sin)cosdx（3）将222211tancostan22221tansintan代入（3）得：22222211(tantan)tandx整理得：2222220()tantanxdddx方程有实根的条件为：22444220=()()≥bacddxdx解得：3≥xd3inxd22ininSxy=2d(位移取最小值时，223tan即：sinθ=0.5)或：2(sin)cosdx=2tancosdd而211costan带入上式得：221tantanxddv2θxyv1v1v2整理得：22223240tantanddxdx如果函数为2yaxbxc如果x没有限定范围，当a>0时，y有极小值；当a<0时，y有极大值。如果x给定范围，需配方。例2．在图（甲）所示电路中，滑动变阻器的滑动触头从一端滑到另一端的过程中，其U－I图线如图（乙）所示。求滑动变阻器的变化范围。若将电路改为图（丙）所示，图中R0=4Ω，变阻器的变化范围如前所求。求电流表的示数的最大值和最小值。(电流表内阻忽略不计)解：U=IR0≤U≤82≤I≤10解得：0≤R≤4Ω由图得：E=10Vr=1Ω设R左段电阻为x，则：0000AREIRxRxRxrRx=240520-xx=24026.25(2.5)x根据：0≤x≤4得：1.52≤IA≤2.0(A)有些函数求极值，并不能如上直接求其极值，需要用其它方法。例用某一物理量的极值求另一物理量的极值。例3：如图所示，一长为L的轻细线的一端固定于O点，另一端系一质量为m、带电量为q的小球，小球由最大偏角α处静止释放，装置处于匀强磁场中，磁感应强度垂直摆动平面。为了使摆动始终正常进行，求磁感应强度应满足的条件。解：212(coscos)mmgLv（1）2cosTBqmgmLvv(2)由（1）得：22coscosgLv（3）R(甲)I/AU/V2810(乙)R(丙)AR0·βO×BmgTBqvα将（3）带入（2）整理得：232cosmTBqmgLvv当：v=23-bBqLam时222606≥inmgcosBqLTmL即：6cos≤mgBqL二、利用判别式求极值例4：光滑的圆锥体固定在水平面上并处于竖直向下的匀强磁场中，有一质量为m，带电量为q的小球在锥面上做半径为r的圆周运动，求磁感应强度的最小值。解：2cosNBqFmrvvsinNFmg整理得：2cot0mBqmgrvv满足题意得条件为：v有正根即：Δ≥02240cot≥mBqmgr解得：2cot≥mgBqr满足此式，速度v有正根。∴磁感应强度的最小值为：2inmgBqrcot（此时cotgrv）或：cotmmgBrqqvv当cotmmgrqqvv时B有最小值mgBqvFN)θθ(θB三、不等式求极值例5．如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面长L=10m。一小物体A从斜面的顶端由静止释放，g=10m/s2.（1）A滑到斜面底端用多长时间？它滑到底端时的速度为多少？（2）若在A下滑的同时，另一物体B从斜面的底端开始沿斜面上滑，要使A、B两物体在斜面上相碰，B物体的初速应满足什么条件？18．解：（1）30AAsinmgmao①⋯⋯⋯⋯（1分）212ALat②⋯⋯⋯⋯（1分）Aatv③⋯⋯⋯⋯（1分）由①解得：a=5m/s2分别带入②③可解得：tA=2s⋯⋯⋯⋯（1分）v=10m/s⋯⋯⋯⋯（1分）(2)设：B的加速度大小为a/，初速为v0，则：30BB/sinmgmao⋯⋯⋯⋯（1分）在斜面上相碰的条件为：02A/≥tav⋯⋯⋯⋯（3分）解得：v0≥5m/s⋯⋯⋯⋯（1分）或：2211022A/attatLv⋯⋯⋯⋯（1分）0A≤Lttv(或：02/≤tav)⋯⋯⋯⋯（3分）解得：v0≥5m/s⋯⋯⋯⋯（1分）(如果要求在小球B上升过程中相碰呢？下降过程中相碰呢？)上升过程相碰的条件：00/≤Lavv下降过程相碰的条件：0002//≤≤Laavvv例6：从地面以速度2v0竖直向上抛出一小球A，经Δt时间从同一点竖直向上以速度v0抛出另一小球B。（1）要使两球在空中相遇，Δt应满足什么条件？（2）要使B球上升时与A球相遇，Δt应满足什么条件？（3）要使B球下降时与A球相遇，Δt应满足什么条件？解：（1）设在B球抛出后t时刻与A球在空中相遇，则相遇条件为：2200112()()22ttgtttgtvv（1）整理得：210202tgttgtvv（2）在空中相碰应满足：0
