3.2.2平面的法向量与平面的向量表示VIP专享VIP免费

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、复习引入1.1.直线与平面垂直的定义、判定和性质直线与平面垂直的定义、判定和性质l定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。mnA性质：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。'l二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则叫做平面的法向量或说向量与平面正交。nnnn�m由平面的法向量的定义可知，平面的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。�m模为1的法向量，叫做单位法向量，记作显然0�n0||�nnn二、概念形成概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。abn已知：是平面内的两条相交的直线，且求证：,ab,nanbn正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1向量证法正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。1(0,1,0),(1,1,1)�DADB解：建立如图所示的坐标系A-xyz，则A(0,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)ABCDA1B1C1D1xyz设是平面ADB1的法向量。那么(,,)nxyz100����nDAynDBxyz00yxz令z=1，得(1,0,1)n一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。小结.求平面法向量的方法：⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.待定系数法例题例1：已知点，，，其中求平面的一个法向量。)0,0,(aA),0,0(cC)0,,0(bB0abcABCxyzAOCBn解：由已知得),0,()0,,(caOAOCACbaOAOBAB),,(zyxnABC的一个法向量为设平面0),0,(),,(0)0,,(),,(czaxcazyxACnbyaxbazyxABn则xcazxbay,解得abzacybcx,,则令),,(abacbcncazbayx,,1则令),,1(caban有何关系？二、概念形成概念3.平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。设A是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条件的点M的集合构成什么样的图形？n0�AMnnAMM1M2我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。0�AMn称此为平面的向量表达式。二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直2�n1�n设分别是平面的法向量，则有12,�nn,12////�nn或与重合1�n12120�nnnn已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1。二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF设，分别是平面DEA，A1FD1的法向量，则11112222(,,),(,,)�nxyznxyz向量证法11,�nDAnDE所以证明：如图所示，建立平面直角坐标系Dxyz。令DD1=2，则111111111(,,)(2,0,0)00(,,)(2,2,1)020xyzxxyzyz令111(0,1,2)�yn同理可求2(0,2,1)�n已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1。ABCDA1B1C1D1EFxyzD(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),E(2,2,1)12(0,1,2)(0,2,1)0�nn12�nn平面DEA⊥平面A1FD1。利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。射影：已知平面和一点A，过点A作的垂线与交于点，则就是点A在平面内的正射影，也可简称射影。二、概念形成概念5.用法向量证明“三垂线定理”预备知识：'AlA'A'ABl斜线在平面上的...