【成才之路】-学年高考数学3-4-2基本不等式的应用最值问题课后强化作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．2[答案]D[解析]a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D.2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B.3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.>B.≤＋1C.≥2D.≤[答案]D[解析] a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴≥＋＝＝1，故A、B、C均错，选D.[点评]对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤.4．(～学年度湖南长沙市浏阳一中高二期中测试)已知正数x、y满足＋＝1，则xy有()A．最小值B．最大值16C．最小值16D．最大值[答案]C[解析] x>0，y>0，∴≥＋2＝4，又 ＋＝1，∴4≤1，∴≤，∴xy≥16，故选C.5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4C．2D．8[答案]B[解析] 2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2D.[答案]A[解析] x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立． x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.二、填空题7．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案]5[解析] x>0，y>0，＋＝2，∴2≥2，∴xy≥15，当且仅当＝，且＋＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．8．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．[答案]4[解析] a>0，∴(x＋y)(＋)＝1＋a≥＋＋1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.三、解答题9．已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b≥＋＋a＋b＋2＝(＋)2，等号在＝即＝时成立，∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.能力提升一、选择题1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．3C．1＋2D．5[答案]A[解析]由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．2．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析] a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D.3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A.B.C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D.4．(·福建文，7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2∞，＋)D．(∞－，－2][答案]D[解析] 2x＋2y≥2，∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D.二、填空题5．已知：a、b、x、y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是________．[答案]ab≥xy[解析]ab＝ab·(＋)＝a＋b≥2，∴ab≥4，等号在a＝2，b＝2时成立，xy≤＝4，等号在x＝y＝2时成立，∴ab≥xy.6．一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2km，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.[答案]8[解析]物资全部运到灾区需t＝≥＝＋8h，等号成立时，＝，即v＝100.故最少要用8h.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[解析](1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤320...
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