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高考数学 3-4-2基本不等式的应用最值问题课后强化作业 新人教A版必修5VIP专享VIP免费

高考数学 3-4-2基本不等式的应用最值问题课后强化作业 新人教A版必修5_第1页
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【成才之路】-学年高考数学3-4-2基本不等式的应用最值问题课后强化作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1.已知正数a、b满足ab=10,则a+b的最小值是()A.10B.25C.5D.2[答案]D[解析]a+b≥2=2,等号在a=b=时成立,∴选D.2.已知m、n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是()A.100B.50C.20D.10[答案]B[解析]由m2+n2≥2mn得,mn≤=50,等号在m=n=5时成立,故选B.3.若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.>B.≤+1C.≥2D.≤[答案]D[解析] a>0,b>0,a+b=4,∴≤=2,∴ab≤4,∴≥,∴≥+==1,故A、B、C均错,选D.[点评]对于D有,a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥16-2×4=8,∴≤.4.(~学年度湖南长沙市浏阳一中高二期中测试)已知正数x、y满足+=1,则xy有()A.最小值B.最大值16C.最小值16D.最大值[答案]C[解析] x>0,y>0,∴≥+2=4,又 +=1,∴4≤1,∴≤,∴xy≥16,故选C.5.设a、b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()A.6B.4C.2D.8[答案]B[解析] 2a>0,2b>0,a+b=3,∴2a+2b≥2=2=2=4,等号成立时,2a=2b,∴a=b=.6.实数x、y满足x+2y=4,则3x+9y的最小值为()A.18B.12C.2D.[答案]A[解析] x+2y=4,∴3x+9y=3x+32y≥2=2=2=18,等号在3x=32y即x=2y时成立. x+2y=4,∴x=2,y=1时取到最小值18.二、填空题7.已知+=2(x>0,y>0),则xy的最小值是________.[答案]5[解析] x>0,y>0,+=2,∴2≥2,∴xy≥15,当且仅当=,且+=2,即x=5,y=3时,取等号.8.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为________.[答案]4[解析] a>0,∴(x+y)(+)=1+a≥++1+a+2,由条件知a+2+1=9,∴a=4.三、解答题9.已知正常数a、b和正变数x、y,满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a、b的值.[解析]x+y=(x+y)·1=(x+y)·(+)=a+b≥++a+b+2=(+)2,等号在=即=时成立,∴x+y的最小值为(+)2=18,又a+b=10,∴ab=16.∴a、b是方程x2-10x+16=0的两根,∴a=2,b=8或a=8,b=2.能力提升一、选择题1.设x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值为()A.7B.3C.1+2D.5[答案]A[解析]由已知得x+3y=2,3x>0,27y>0,∴3x+27y+1≥2+1=6+1=7,当且仅当3x=27y,即x=1,y=时等号成立.2.已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值为()A.6B.7C.8D.9[答案]D[解析] a+b=1,a>0,b>0,∴ab≤,等号在a=b=时成立.∴=·=·===+1≥+1=9,故选D.3.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为()A.B.C.2D.4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为4,而直线被圆截得的弦长为4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即a+b=1,∴+=(a+b)=1+1++≥2+2=4(等号在a=b=时成立).故所求最小值为4,选D.4.(·福建文,7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2∞,+)D.(∞-,-2][答案]D[解析] 2x+2y≥2,∴2≤1,∴2x+y≤=2-2,∴x+y≤-2,故选D.二、填空题5.已知:a、b、x、y都是正实数,且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是________.[答案]ab≥xy[解析]ab=ab·(+)=a+b≥2,∴ab≥4,等号在a=2,b=2时成立,xy≤=4,等号在x=y=2时成立,∴ab≥xy.6.一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区,为了安全起见,两列火车的间距不得小于()2km,则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.[答案]8[解析]物资全部运到灾区需t=≥=+8h,等号成立时,=,即v=100.故最少要用8h.三、解答题7.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:(1)仓库面积S的取值范围是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?[解析](1)设正面铁栅长xm,侧面长为ym,总造价为z元,则z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy,仓库面积S=xy.由条件知z≤320...

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