高中数学|外接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距直等于定长的点的集合（轨迹）叫球面’简称球.2.外接球的定义：若一个多囲体的备亍顶点都在一个球的球面上.则称这个多面炼是遠个球的内接多面体，这个據星这牛多面体的外接建.工内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切*则称这个多面体星这个球的外切多面体，这个球垦这个爹面体的內切球a-V外接球的有关知识与方法1.性质：性质X过球心的平面戴球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性债2：盪过小圍的直径与小圆面垂直的平面必过球心.该平面截球所得圆星大圆；性质力过球心与小圈圆心的宣线垂青于小圈所程的平面I类比：圆的垂径定理）;性质4:珠心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心*性质5;在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交.交点是球心｛类比；在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心），宜结论:结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即族方体的体对角线的中点杲球心］结论2；若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面休与原长方体的外接球相同扌结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及勻此面垂直的棱构成的肖角三角形的外接圆圆心申换言之，就是：底面的一条对角线与一条高〔棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处：结论，圆柱体轴截面矩形的外接圜是大圆，该矩丑的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论&；直棱扌主的外接球与该按柱外接圆柱体有相同的外接球'结论厂圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论和圆锥体轴截面尊腰三角形的外接圆是犬圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相器的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3■锲极利器；勾股定理、正弦定理&余弦定理｛解三角形求线段长度）；三*内切球的有关知识与方法3•若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直」占直线切圆的结论有一致性）2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距藹均相等口（类比；与多边形的内期圆）工正多面体的内切球利外接球的球心糞會呻4■正棱惟的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合。5.基本方法:(I)构造三角形利用相似比和勾股定理,口)体积分割是求內切球半径的通用做法(等体积法).四&八大欖型饕型一、墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置閒可求出球半径)方法；找三条两两垂頁的线段，直接用公式〔2呼之丄+护+疋『即2R=jr十h?十於,求出R例I("已扣各顶点都在同一球面上的正四楼柱的高为4,体积为I队卿这个球的表面积是(C)A.16^B.20*C.24肚D,32忙解：K廿=2[4卅=+诂亠■)■用=4+4+16=24、S=24^,选C;(2)若三棱锥的三个侧面两两垂克，且侧棱长均為氐则其外接球的表茴积是9/r解：4^'=3+3+3=^tS—A-TZR~—9^；(3)程正三棱锥X-AfiC中，M、川分别是棱SUBC的中点，且』"丄MV,若侧棱協二2占测疋三棱锥S-"占「外按球的表面积是.36就解：引理：疋三槓锥的对棱互相垂直■证明如下：如tifl-人正三樓锥S-AHC接夕卜接球直径为图⑶小取AJiJiC的中点氏E、连接AE,CD、AE.CD交于何，连接网则"是底面正三毎形眉的中心;SH丄平面AHC.:飞H丄冊、vA(r=BC,AD=HD,二「D丄/餌/.ARI平面RD、AAH±SCf同理ifiCLSA,ACLSJi,即正三核锥的对棱互垂直'本题图如圉⑶ZvAMWSBHMN,.-.AM1SRfYACLSB.，•…ST?丄平面SAC,t\S/i丄SAT⑷丄曲T丄®i./1C丄SA,二£4丄平面NBCt.-.SA丄SC故三稷锥S-ABC的三梭条侧檯两两互相垂冒,代C2ft/淘亞¥+(2遍畫+(2小尸=3右，即4用=36.球的表面积S36JT.⑷在四面体£—川卍中，％丄平［flM处°■,乙打「二1戈0,站二/「二2川疔二】，则该四面体的外接球的表面积为(B)1幷”厂1°n40ftJjT<.—氏1).—7T33解匕在Ajwr申，HC"AC^AH'-2HCcosi20=7}M三护、MH「的(2/?V二(力丁+SAZ=彳芋尸十4二f屮33(5)如果三棱锥的三个刪面两商垂直，它们的面积分别为6.4*3,那么它的外接球的表面积是解匕由已知得三条侧棱两两垂直I设三条侧棱长分别为。上工£用)「则z选|血=]2be-Bfabc-24・二n口3$ZJ...
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