圆中常用的辅助线马罗1.连半径由圆的半径相等，想到：连半径，构造直角三角形或等腰三角形。例1.如图1，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（）图1（A）3cm。（B）2.5cm。（C）2cm。（D）1cm。（05年北京丰台区中考）解：连结OA，则OA=OC=5cm。因为OC⊥AB，所以AD=AB=4cm。OD==3（cm）。故选（A）。例2.如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。图2（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长。（05年四川省中考）证明：（1）连接CO，则AO=BO=CO，所以∠CAO=∠ACO。又因为∠EAC=∠CAO，所以∠ACO=∠EAC，于是AE∥OC。又AE⊥DE，所以∠OCD=∠AED=90°，即OC⊥DE。所以DE是⊙O的切线。（2）BD=2，BC=，过程略。2.过圆心，作弦的垂线由垂径定理，想到：过圆心，作弦的垂线，构造直角三角形。例3.如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，AC=CD，且∠COD=60°。图3（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长。（05年天津中考）解：（1）过O点作OM⊥AB，垂足为M。因为CO=DO，∠COD=60°，所以△COD为等边三角形，即M点为CD的中点，又CO=2，所以OM=。连接AO。在Rt△AOM中，AM=CD=3CM=3，所以AO=。即大圆半径长为。（2）AE=4，过程略。3.作弦由直径所对的圆周角是90°，想到：作弦，构造直角三角形。例4.如图4，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F。图4求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线。证明（1）连结CD。因为BC为⊙O的直径，所以CD⊥AB。又AC=BC，所以AD=BD。（2）连接OD。因为AD=BD，OB=OC，所以OD∥AC。又DE⊥AC，所以DF⊥OD，故DF⊙O的切线。另证（2）连接OD。因为OB=OD，所以∠BDO=∠B，又∠B=∠A，所以∠BDO=∠A。由∠A+∠ADE=90°，得∠BDO+∠ADE=90°，即∠ODF=90°，故DF是⊙O的切线。4.连圆心和切点由切线的性质，想到：连圆心和切点，构造直角三角形。例5.如图5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AB上一点，以BD为直径作半圆O，与AC相切于点E。若BD=BC=6，求AC的长。图5（05年北京东城区中考）解：连结OE。因为AC切半圆O于点E。所以OE⊥AC。又∠ABC=90°，所以△AEO∽△ABC由BD=BC=6，得OE=BD=3。故AB=2AE。又AE2=，所以AE=2AD，AB=4AD，BD=3AD=6，AD=2。于是AE=4。由CE=BC=6，得AC=AE+CE=10。5.连公共弦由公共弦的特殊性，想到：连公共弦，综合运用圆的知识。例6.如图6，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连结EF、DF。图6（1）求证：△AEF∽△FED；（2）若AD=6，DE=3，求EF的长；（3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由。（05年潍坊中考）解：（1）连结两圆的相交弦CE，在圆O1中，∠DFE=∠DCE，在圆O中，∠BAE=∠DCE，所以，∠DFE=∠BAE，又因为AE是∠BAC的角平分线，所以∠BAE=∠CAE=∠DFE，因为∠AEF=∠FED，所以△AEF∽△FED。（2）由△AEF∽△FED，得所以EF2=，即EF=。（3）由圆的内接四边形的性质，得∠ABE+∠ACE=180°，又∠ECF+∠ACE=180°，所以∠ECF=∠ABE，因为DF∥BE，∠ECF=∠ABE，又∠ECF=∠EDF，所以∠AEB=∠ABE，故△ABE为等腰三角形。
