第6讲一元二次方程根与系数的关系姓名：___________一、知识点与典型例题一元二次方程的根与系数的关系(通常也称为韦达定理)若是一元二次方程的两个根，则有，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）（2）（3）；（4）││==（5）＋=【例1】已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）【例2】已知关于x的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1－x2）2=16－x1x2，求实数m的值．【例3】(2001年全国竞赛题)如果a,b是质数,且a2－13a＋m＝0,b2－13b＋m＝0.求的值.【例4】(全国初中数学联赛题)若ab≠1，且有5a2＋2001a＋9＝0及9b2＋2001b＋5＝0，求的值【例5】(第18届江苏竞赛题)设x1，x2是方程2x2－4mx＋2mx＋3m－2＝0的两个实根，当m为何值时，x12＋x22有最小值，并求这个最小值．二、课堂练习：1．若方程x2＋x－1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α＋β=－1B．αβ=－1C．α2＋β2=3D．＋=－12．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的两个实数根分别为x1=－2，x2=4，则b＋c的值是（）A．－10B．10C．－6D．－13．关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠04．方程x2－（m＋6）＋m2=0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2=x1x2，则m的值是（）A．－2或3B．3C．－2D．－3或25．已知关于x的方程2x2－mx－6=0的一个根2，则m=_______，另一个根为__________．6．已知m，n是方程x2＋2x－5=0的两个实数根，则m2–mn＋3m＋n=__________．7．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m=0，有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12＋x22－x1x2的值．8．(江苏省初中数学竞赛题)已知3m2－2rn－5＝0，5n2＋2n－3＝0，其中m，n为实数，求的值.三、课后作业：1．设方程（x－a）（x－b）－x=0的两根是c、d，则方程（x－c）（x－d）＋x=0的根是（）A．a，bB．－a，－bC．c，dD．－c，－d2．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知a，b是方程x2－x－3=0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为______．4．若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为________．5．已知a，b，c，d是非零实数，c和d是方程x2＋ax＋b=0的解，a和b是方程x2＋cx＋d=0的解，则a＋b＋c＋d的值为___________．6．设，是方程2x2＋4x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值：（1）＋；（2）＋；（3）（－2）（－2）．7．设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m＋3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若＋=1，求的值；（2）求＋－m2的最大值．8．如果方程20xpxq的两个根是12,,xx那么1212,.,xxpxxq请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程20,(0),xmxnn求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2－15a－5=0，b2－15b－5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a＋b＋c=0，abc=16，求正数c的最小值．9．已知：关于x的两个方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0①与mx2＋（n－2）x＋m－3=0②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．10.（江苏省初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k的值，使关于x的方程kx2＋（k＋1）x＋（k－1）＝0的根都是整数．11.（四川省竞赛题）△ABC的一边长为5，另两边长恰为2x2－12x＋m＝0的两根，求m的取值范围．12.（全国初中数学联赛题）已知x，y是正整数，并且xy＋x＋y＝23，x2y＋xy2＝120，求x2＋y2的值．
