初三数学正多边形和圆知识精讲一.本周教学内容：正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形。2.正多边形与圆的关系（1）把圆分成n（n≥3）等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这圆是正n边形的外接圆。其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这圆是正n边形的内切圆。（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3.有关概念（1）正多边形的中心（2）正多边形的半径（3）正多边形的边心距（4）正多边形的中心角4.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。这里我们设：正n边形的中心角为α，半径为R，边心距为r，边长为an，周长为Pn，面积为Sn，则有：5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。二.重点和难点：1.重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去。尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。2.难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。三.易错点分析：1.正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。2.对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。3.有关正多边形的计算实质是把问题转化为解直角三角形的计算，所以这里要用到三角函数及勾股定理等有关知识。4.要注意线段的转化，如圆内接三角形的半径（即该圆的半径）又是该圆外切正三角形的边心距，掌握了这些变化，有利于运算求值的一些计算。【典型例题】例1.求半径为2cm的圆内接正三角形的边长及面积。解：如图，O为正三角形ABC的中心，OD⊥AB于D，∴△ABC中AB边的高为CD=CO+OD=2+1=3cm例2.一个圆内接正方形的边心距为r，求该圆的外切正六边形的边长。分析：由题意画图，AB是⊙O的内接正方形的一边，CD是外切正六边形的一条边，通过OM可求出⊙O的半径OA，然后再找OA与CD的关系。解：如图，AB是⊙O内接正方形的一条边。， CD为⊙O的外切正六边形的一条边 OA⊥CD，且∠AOC=30°例3.阴影部分的面积。解：连结CD、OC、OD∴CD∥AB 平行线间的距离处处相等，∴△OCD与△CBD有相等的高，例4.如图，矩形ABCD中，AD=2AB=2，以D为圆心以DA为半径的弧交BC于F交DC延长线于E，求阴影部分的面积。解：连结DF，∴AD=DF=DE， AD=2AB=2，∴DF=2DC=2，∴CD=1， ∠DCF=90°，∴∠DFC=30° AD∥BC，∴∠ADF=30°例5.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，求以矩形一边所在直线为轴旋转一周后的立体图形的表面积。分析：由于矩形的长和宽不等，以AB边所在直线为轴旋转和以AD边所在直线为轴旋转所得到的立体图形的表面积是不一样的，所以要分类讨论。略解：（1）设以AB边所在直线为轴旋转，上底面周长=2AD·π=12π，上底面面积=下底面面积=π·AD2=36π，侧面面积=上底面周长×AB=48π，∴表面积=侧面面积+上底面面积+下底面面积=36π+36π+48π=120π。（2）设以AD边所在直线为轴旋转，上底面面积=下底面面积=16π，上底面周长=8π，侧面积=48π，表面积=80π。【考点解析】例1.如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。（答案保留π）。分析：欲求圆环面积，需求内切圆和外接圆的半径，由正方形的边长是4cm，可知它解： 正方形边长是4cm，∴它的内切圆的直径是4cm，∴内切圆半径r=2cm， 正方形边长是4cm，∴它的外接圆的直径是正方形的对角线的长，答：圆环的面积是4πcm2。（1999年广州中考试题）例2.把一个半圆卷成一个圆锥侧面，如图所示，（1）求这个圆锥的锥角；（2）如果这个圆锥的表面积等于4π，求圆锥的高。分析：首先要明确什么是锥角，过圆锥的轴的截面等腰△ASB的顶角∠ASB即为圆锥的锥角。欲求锥角，就要明确SB与OB之间的关系，设SB=l，OB=r。由于圆锥是由半圆卷成的，所以底面⊙O的周长等于圆锥侧面展开图半圆的弧长，即2πr=πl，所以2r=l，也就是AB=SB，所以△ASB是等边三角形，∠A...
