向量的数量积在解代数题中的应用王杰由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。下面分类介绍向量的数量积在解代数题中的应用。一、在代数求值中的应用例1设a，b，c，x，y，z均为实数，且，，求的值。解：由题设条件，设由得：，即，变形整理得：。同理，。所以二、在证明代数恒等式中的应用例2已知，且，求证：。证明：构造向量，因为，所以又由条件知，，所以，因为，p=q，即，所以三、在解方程中的应用例3解方程解：设由于，，得即有①代入原方程有，将代入方程组①可求得原方程的唯一一个根为：四、在证明不等式中的应用例4设任意实数x，y满足，求证：。证明：构造向量由，得因为，所以所以。五、在函数最值中的应用例5求函数的最大值。解：令，则故当且仅当a与b同方向，即时取等号，解得。所以当时，取得最大值12。六、在数列中的应用例6给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。解：由题意知令，则。因为，所以，所以。当且仅当m与n同号，且=M时，等号成立。由，解得，故当时，S取得最大值。
