25.3.6解直角三角形（三角函数在直角坐标系中的应用）◆随堂检测1、点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A、（23，21）B、（-23，-21）C、（-23，21）D、（-21，-23）2、在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数(0)ykxbk的图象过点(11)P，，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan3ABO，那么点A的坐标是．3、如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A，B间的距离是________m．◆典例分析已知：如图，点A的坐标为（4，0），点P在第一象限，且cos∠OPA=12．（1）求出点P的坐标（写出一个即可）；（2）求出点P的坐标是多少时，△OPA的面积最大，并求出△OPA的面积的最大值．解：如图．（1）∵cos∠OPA=12，即为∠OPA=60°．直接作PA⊥x轴．∵∠OPA=60°，∴tan∠POA=3,34PAPAOA，∴PA=433．∴P（4，433）（答案不唯一）．（2）当△OPA为等边三角形，面积最大，即P（2，23）．S△OPA=12OA·h=12×4×23=43．点评：此题第一问也可直接找到等边三角形，然后求出点P的坐标.◆课下作业●拓展提高1、如图，灯塔A在港口O的北偏东55°方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）．（供选用数据：sin55°=0.8192，cos55°=0.5736°，tan55°=1.4281）2、如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．3、如图，ABC△中，1204BACABACBC，，，请你建立适当的直角坐标系，并写出ABC，，各点的坐标．4、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC°，，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)，C．(211)，D．(121)，5、如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．6、如图，在平面直角坐标系中，已知点(42)B，，BAx⊥轴于A．（1）求tanBOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将OAB△平移得到OAB△，点A的对应点是A，点B的对应点B的坐标为(22)，，在坐标系中作出OAB△，并写出点O．A的坐标．●体验中考ABCxyOCBAOxAB11y1、（2009年嘉兴市）如图，已知一次函数bkxy的图象经过)1,2(A，)3,1(B两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCDtan的值；（3）求证：135AOB．参考答案：随堂检测：1、B2、(20)(40)，，，．3、300（1+3）拓展提高：1、连结AB，由题意得AB⊥OB，OA=80，∠OAB=55°，在Rt△AOB中，可求得OB=80sin55°=80×0.8192=65.536（海里）．∴v=800.81922st=32.768≈32.77（海里/小时）．BDCAO11yx2、解：设岛C到货船航行方向的距离为x海里．根据题意，得tan30tan60xx=12．解得x=63（海里）．因为63>9，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．3、解：答案不唯一，可以是：如图，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，垂直平分线与BC的交点为原点建立直角坐标系．120BACABAC，，故y轴必经过A点，30BCAABC，122BOOCBC．在RtAOC△中，23tan2tan303OAOCACB·．230(20)(20)3ABC，，，，，4、C5、45(或0.8);6、解：（1）点(42)B，，BAx⊥轴于A，42OABA，，21tan42ABBOAOA．（2）如图，由旋转可知：24CDBAODOA，，点C的坐标是(24)，．（3）OAB△如图所示，(24)O，，(24)A，．体验中考：ABCyOxOxAB11yCDOBA1、解：（1）由bkbk321，解得3534bk，所以3534xy（2）5(0)4C，，5(0)3D，．在Rt△OCD中，35OD，45OC，∴OCDtan34OCOD．（3）取点A关于原点的对称点(21)E，，则问题转化为求证45BOE．由勾股定理可得，5OE，5BE，10OB，∵222BEOEOB，∴△EOB是等腰直角三角形．∴45BOE．∴135AOB°．BDCAO11yxE
