【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明学业分层测评苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．给出下面四个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；②因为x，y∈(0，＋∞)，所以lgx＋lgy≥2；③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；④因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导过程为________．【解析】②③错误，①④正确，对于②，lgx，lgy不一定为正数；对于③，a∈R，也失去了应用基本不等式的前提．【答案】①④2．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【导学号：91730067】【解析】∵x>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4.当且仅当4x＝，即x＝时等号成立．由题意可知＝3，即a＝36.【答案】363．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．(1)a2＋b2>2ab；(2)a＋b≥2；(3)＋>；(4)＋≥2.【解析】∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴(1)错误．对于(2)(3)，当a<0，b<0时，明显错误．对于(4)，∵ab>0，∴＋≥2＝2.【答案】(4)4．已知函数y＝2＋3x2＋，当x＝________时，函数有最________值，为________．【解析】∵x2>0，∴y＝2＋3x2＋≥2＋2＝14，当且仅当3x2＝，即x＝±时，取等号．【答案】±小145．下列函数中最小值为4的是________．①y＝x＋；②y＝sinx＋(0
b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．【解析】∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴<(lga＋lgb)，即P，∴lg>lg＝(lga＋lgb)，∴R>Q，即R>Q>P.【答案】R>Q>P二、解答题9．已知a，b是正数，试比较与的大小．【解】∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤＝，即≤.10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.【证明】(1)＋＋＝＋＋＝2.∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(2)法一∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴＝·＝5＋2≥5＋4＝9，∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二＝1＋＋＋.由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9.能力提升]1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是________.【导学号：91730068】(1)≤；(2)＋≥1；(3)≥2；(4)≥1.【解析】若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．【答案】(2)2．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．【解析】x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立．2∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.【答案】(－∞，2]3．设00，∴(－logab)＋(－logba)＝(－logab)＋≥2，∴logab＋logba≤－2.【答案】－24．已知x>y>0，xy＝1，求的最小值．【解】∵xy＝1，∴＝＝＝(x－y)＋≥2＝2.当且仅当即时取等号3
