第13课时定积分的简单应用基础达标(水平一)1.由曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积等于().A.(x-x3)dxB.2(x-x3)dxC.(x3-x)dxD.2(x-x3)dx【解析】如图,x轴下方与上方的面积相等.故选B.【答案】B2.与定积分|sinx|dx相等的是().A.B.sinxdxC.sinxdx-sinxdxD.sinxdx+sinxdx【解析】结合图象(图略),利用定积分的几何意义可知选C.【答案】C3.曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积是().A.B.2-C.2-D.-【解析】由sinx=及0≤x≤π,得x=或x=,1所以曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积是S=sinxdx-×-=-cos+cos-=-.【答案】D4.已知曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为().A.1B.C.D.【解析】S==.【答案】D5.一物体在力F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用力下,沿与力F(x)相同的方向由x=5m直线运动到x=10m处所做的功是.【解析】W=F(x)dx=(3x2-2x+5)dx=(x3-x2+5x)=(1000-100+50)-(125-25+25)=825J.【答案】825J6.曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.2【解析】由xy=1得y=.由y==3,解得xB=,由解得xC=1,由得xD=3.所以根据积分的几何意义知所求面积为(3-x)dx=(3x-lnx)+=4+ln=4-ln3.【答案】4-ln37.有一动点P,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2,求:(1)当t=5时,点P距出发点的位置;(2)当t=0到t=5时,点P经过的路程.【解析】(1)s=(8t-2t2)dt==.(2)当v(t)=8t-2t2≥0,即当0≤t≤4时,点P向x轴正方向运动;当t>4时,点P向x轴负方向运动.因此所求路程应为s2=(8t-2t2)dt+[-(8t-2t2)]dt=+=26.拓展提升(水平二)8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=,那么从3小时到6小时期间内的产量为().A.B.3-C.6+3D.6-3【解析】dt==6-3,故选D.【答案】D39.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域内的A处与C处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影部分,该正方形区域内无其他信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点无信号的概率为().A.B.1-C.D.1-【解析】由题意得S阴影=2(e-ex)dx=2(ex-ex)=2,故所求概率P=1-=1-,故选B.【答案】B10.如图,一水渠的横截面为等腰梯形,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示平面直角坐标系.过点B作BE⊥x轴于点E,∵∠BAE=45°,BE=2,∴AE=2,又OE=5,∴A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p>0),代入点B的坐标,得p=,故抛物线的方程为y=x2,从而图中阴影部分的面积为2x2dx-×2×2=.又易知等腰梯形ABCD的面积为×2=16,4∴原始的最大流量与当前的最大流量的比值为=.【答案】11.如图所示,设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2.(1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和S1+S2的最小值.【解析】(1)由题意,设点P的坐标为(t,t2)(00.5故当t=时,S1+S2有最小值为-,此时点P的坐标为(,2).6
