专题八之概率【知识概要】一、古典概型●1．随机事件（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。●2．频率与概率（1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，简称为A的概率。●3．概率的性质与计算（1）随机事件A的概率为：（2）概率的基本性质：；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。●4．基本方法：寻找一次试验等可能的结果数的基本方法——枚举法，用枚举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。二、几何概型●1．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。●2．几何概型计算：在几何概型中，事件A的概率为：●3．基本方法（1）适当地选择角度；（2）将基本事件转化为与之对应的区域；（3）将事件A转化为与之对应的区域；（4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测度是长度，角度等，如果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量(如约会问题)，利用平面直角坐标系研究组成的点集。三、互斥事件及其概率●1．基本概念（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。一般地，如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说彼此互斥。（2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对立事件。●2．有关计算：若事件A与事件B互斥，则;特别地，若事件A与事件B互为对立事件，则；如果事件中的任何两个都是互斥事件，则。四、随机变量1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……有性质①；②.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布，并记，其中5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.⑶超几何分布与二项分布...
