【金版学案】2015-2016学年高中数学3.4.1基本不等式（一）练习新人教A版必修5►基础梳理1．两个正数的算术平均数与几何平均数．设a，b是任意两个正数，称为a，b的__________；称为a，b的__________．1和9的算术平均数是________，而1和9的几何平均数是________．2．重要不等式：设a，b∈R， a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴________________．当且仅当________时，等号成立．3．基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么≤.当且仅当______时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的____________________________________．如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的__________________________________．4．基本不等式≤的几何意义是：________________________________________________________________________5．已知x，y都是正数，(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和______有最小值__________；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积______有最大值______________．(3)已知x，y都是正数，①如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；②如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．6．求函数最值的两个基本步骤：(1)证y≥m(m是与自变量无关的常数)或y≤M(M是与自变量无关的常数)；(2)证存在定义域中的x0，使f(x0)＝m或f(x0)＝M.有了这两步就可以下结论：y＝f(x)的最小值是m或y＝f(x)的最大值是M.基础梳理1．算术平均数几何平均数532．a2＋b2≥2aba＝b3．a＝b算术平均数不小于它们的几何平均数等差中项不小于它们的等比中项4．半径不小于半弦5．解析： x，y∈R＋，∴≥.(1)当xy＝P(定值)时，≥，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y时，上式取“＝”，∴当x＝y时，(x＋y)min＝2.(2)当x＋y＝S(定值)时，≤∴xy≤S2，当且仅当x＝y时，上式取“＝”，∴当x＝y时，(xy)max＝S2.(3)①因为x，y都是正数，且xy＝15，由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号．②因为x，y都是正数，且x＋y＝15，由基本不等式得xy≤＝＝，当且仅当x＝y＝7.5时，取等号．答案：(1)x＋y2(2)xyS2(3)①2②1►自测自评1．下列函数中，能取到最小值2的是()A．y＝x＋(x<0)B．y＝＋C．y＝＋ex(x∈R)D．y＝2．如果a2＋b2＝4，则ab的最________值是________；如果ab＝2，则a2＋b2的最________值是________．3．下列不等式中，不正确的是()A．a2＋b2≥2|a||b|B.≥2a－b(b≠0)C.≥－1(b≠0)D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2自测自评1．C2.大2小43．解析：A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，∴A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b＜0时，≤2a－b，∴B不正确．C中，b≠0，则≥－1，∴C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴D正确．故选B.答案：B►基础达标1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋B．x2－1＋C．2x＋2－xD．x(1－x)1．C2．已知a、b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤；④≤这四个不等式中，恒成立的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．C3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥3．解析：依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)]＝1＋∴x≤.故选B.答案：B4．已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式中正确的是()A.＋≥1B.＋＞1C.≥2D.≥14．解析： a>0，b>0，∴2≤a＋b＝4，2即≤2.∴≥.∴C、D不正确．又＋＝＝≥1，∴A正确，B不正确．故选A.答案：A5．(2014·上海卷)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．5．解析：x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2时等号成立．答案：26．已知a，b，c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.6．证明： a，b，c都是正数，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．►巩固提高7．已知x、y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为()A．3B．4C．5D．67．解析：此题很容易出错，认为x＋≥2，y＋≥2，∴p≥4，错选B，错误的原因是x、y不能同时...
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