第八章立体几何初步第3课时直线与平面的位置关系(2)1.设l、m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l⊥α，mα，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，mα，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.其中，正确的命题是________．(填序号)答案：①②解析：根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．2.下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过其交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直．其中，正确的个数为________．答案：0解析：①错，过平面外一点有且仅有一条直线和这个平面垂直；②错，若一条直线和平面内的无数多条平行直线垂直，则这条直线和平面不一定垂直；③错，只要一条直线和平面内两条相交直线垂直，这条直线就和平面垂直；④错，若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线和这个平面可能平行、相交或直线在平面内．3.有以下四个命题：①在空间中，垂直于平行四边形对边的直线，必垂直于另两边；②在空间中，垂直于三角形两边的直线必垂直另外一边；③在空间中，垂直于梯形两底的直线必垂直两腰；④若m∥n，nα，则m∥α.上述命题中，错误的个数为________．答案：3解析：①错，②正确，③错，④错．4.(2013·南昌调研)已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)答案：②④解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.5.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平面ABCD之外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的关系是________．答案：垂直解析： PA＝PC，∴PO⊥AC. PB＝PD，∴PO⊥BD. AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.6.如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图(2)使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论成立的有________．(填序号)①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④GD⊥平面SEF.答案：①解析：由折叠关系知，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG；①正确，②显然不正确；GF与EF不垂直，所以GF与平面SEF不垂直，③不正确；GD与SD不垂直，所以GD与平面SEF不垂直，④不正确．故成立的结论只有①.7.已知A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C，BD⊥α于D，且AD∩BC＝E，EF⊥α于F，AC＝a，BD＝b，那么EF的长等于________．答案：解析：由下图可知，有＋＝1，所以EF＝.8.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．答案：2解析： PC⊥平面ABC，CM平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝＝.要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，∴CM＝＝2，∴PM的最小值为2.9.(2013·南京调研)如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.证明：(1)连结AC交BD于点O，连结OM，因为底面ABCD为平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD；(2)因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.因为AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长．解：连结AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1.因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.因为AB＝AC，OB＝OC，得AO⊥BC，又A1O∩AO＝O，A1O、AO平面AA1O所以BC⊥平面AA1O，又OE平面AA1O，所以BC⊥OE，而BB1∩BC＝B，BB、BC平面BB1CC1所以OE⊥平面BB1C1C.又AO＝＝1，AA1＝，得AE＝＝.11.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面...
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