2.2.2二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质；2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标；3.会用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y＝a(x－h)2＋k的形式，从而会求二次函数的最值．【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象，感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响；通过探究具体的二次函数的图象和性质，归纳出二次函数的图象和性质；在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法.1.函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条以为顶点，为对称轴的抛物线．2.一元二次函数的定义：函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口，当a<0时，抛物线开口.|a|越小图象开口就，|a|越大图象开口就.抛物线的顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)，抛物线的对称轴是直线x＝－b2a.原点y轴y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向上向下越大越小3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：当a>0时，函数在区间(－∞，－b2a]上是，在[－b2a，＋∞)上是，当x＝－b2a时，ymin＝4ac－b24a；当a<0时，函数在区间(－∞，－b2a]上是，在[－b2a，＋∞)上是，当x＝－b2a时，ymax＝4ac－b24a.减函数增函数增函数减函数[问题情境]在初中我们学习过二次函数，但研究的不够深入．譬如：y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间有什么关系？y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性如何？何时取得最值？这些问题就是我们本节重点研究的问题．探究点一二次函数的概念问题1在初中我们学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？答函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.问题2对于二次函数y＝ax2(a≠0)，观察下面的图象，说出a的变化是如何影响其图象的张口的大小的？答当a>0时，函数y＝ax2(a≠0)的图象张口向上，a越小图象开口就越大，a越大图象开口就越小；当a<0时，函数y＝ax2(a≠0)的图象张口向下，|a|越小图象开口就越大，|a|越大图象开口就越小．探究点二二次函数的性质例1试述二次函数f(x)＝12x2＋4x＋6的性质，并作出它的图象．解(1)配方f(x)＝12(x2＋8x＋12)＝12[(x＋4)2－4]＝12(x＋4)2－2.由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，因此f(x)≥－2，当且仅当x＝－4时取等号．这说明该函数当x＝－4时，取得最小值－2，记为ymin＝－2，它的图象的顶点为(－4，－2)．(2)求函数的图象与坐标轴的交点，令y＝0，即12x2＋4x＋6＝0，解此一元二次方程，得x1＝－6，x2＝－2，这说明该函数的图象与x轴相交于两点(－6,0)和(－2,0)，令x＝0，得f(0)＝6，说明函数的图象与y轴的交点是(0,6)．(3)列表描点作图：以x＝－4为中间值，取x的一些值(包括使y＝0的x值)，列出这个函数的对应值表：x…－7－6－5－4－3－2－1…y…520－32－2－32052…在直角坐标系内描点作图(下图)．(4)函数图象的对称轴是x＝－4，因为f(－4－h)＝12(－4－h)2＋4(－4－h)＋6＝12h2－2，f(－4＋h)＝12(－4＋h)2＋4(－4＋h)＋6＝12h2－2，所以f(－4－h)＝f(－4＋h)．这就是说，抛物线f(x)＝12x2＋4x＋6关于直线x＝－4对称．(5)函数的增减性，再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数．小结(1)函数y＝a(x－h)2＋k与函数y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，函数y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h；顶点坐标为(h，k)．(2)如果一个函数满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，那么函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．跟踪训练1求函数y＝－x2＋2x＋3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间．解由于y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，由－(x－1)2≤0，得y≤4，当且仅当x＝1时取“＝”，所以当x＝1时，函数有最大值，即ymax＝4.函数图象的顶点坐标为(1,4)，对称轴为x＝1，单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．问题1由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？答y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．问题2由函数y＝ax2的顶点和对称轴...
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