1.3.3立体几何综合专题限时训练(小题提速练)(建议用时：30分钟)一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均有可能解析：因为不存在实数λ使得n1＝λn2，因此n1与n2不平行，又n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以n1与n2不垂直，从而平面α，β相交但不垂直．故选C.答案：C2．已知空间中两点P1(x,3,2)和P2(5,7,4)的距离为6，则实数x的值为()A．1B.9C．1或9D.－1或9解析：空间中两点P1(x,3,2)和P2(5,7,4)的距离为6，可得＝6，解得x＝1或x＝9.答案：C3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B.6C．4D.8解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，AC12＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.答案：A4．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为()A.B.C.D.解析：OG1＝OA＋AG1＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝(OA＋OB＋OC)，由OG＝3GG1知，OG＝OG1＝(OA＋OB＋OC)，∴(x，y，z)＝.答案：A5．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l()A．共线B.相交C．垂直D.不共面解析：由m∥a且a≠0，可设m＝ta(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αta·b＋βta·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．答案：C6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD.－a－b＋c解析：由题意知，B1M＝B1A1＋A1A＋AM＝B1A1＋A1A＋AC＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.故应选A.答案：A7．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4D.8解析：设向量a和b的夹角是θ.则由空间向量的数量积公式得cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝，所以以a和b为邻边的平行四边形的面积S＝2××|a|×|b|×＝.故选B.答案：B8．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A.B.C.D.解析：y轴的方向向量为m＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ.则sinθ＝|cos|＝＝＝，∴θ＝.答案：B9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角α的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴AM＝，CN＝.故AM·CN＝0×1＋×0＋1×＝，|AM|＝＝，|CN|＝＝.∴cosα＝＝＝.即直线AM与CN所成角α的余弦值为.故选A.答案：A10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为()A.B.C.D.1解析：以C点为坐标原点，分别以CD，CB，CG所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．∴F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，∴FE＝(－2,2,0)，EG＝(－2，－4,2)．所以平面EFG的一个法向量为m＝(1,1,3)∴d＝＝.答案：B11．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：如图，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a),BG＝(a，－a,0)．设平面AGC的法向量为n＝(x1，y1,1)．由⇒⇒⇒n＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.答案：C12．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则PB与平面CDP所成的角为()A．30°B.45°C．60°D.90°解析：建立如图所示空间直角坐标系．设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，PB＝(1,0，－1)．由题意知，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，则E.连接AE，则AE⊥PD.又 CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.∴AE＝为平面CDP的法向量．则PB与平面CDP所成角的正弦值sinα...
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