第7讲抛物线板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x答案C解析 抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－. 点P(2，y0)到其准线的距离为4.∴＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故选B.4．[2018·运城模拟]已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y答案D解析设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.5．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为()A．6B．7C．8D．9答案C解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直线方程为x－y－1＝0.联立得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.6．[2018·郑州模拟]已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离＝.7．[2017·河北六校模拟]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案y2＝16x解析设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上．又 圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－.又由题意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8.∴抛物线方程为y2＝16x.8．[2017·天津高考]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y－)2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以＝，解得k＝±.即直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为：y＝(x＋x0)，整理得，x＝－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，所以直线AB与抛物线C相切．10．[2018·湖南模拟]已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．(1)求C点轨迹E的方程；(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．解(1)设C(x，y)，A(0,2)，则圆心坐标为，又因为圆与x轴切于B点，所以B点坐标为，圆的半径为.根据AC是圆的直径得，|AC|＝|y＋2|，即＝|y＋2|，两边平方整理得x2＝8y，所以...
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