2010~2014年高考真题备选题库第8章平面解析几何第7节抛物线1．(2014天津，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A由题意可得＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为－＝1.2．(2014江西，5分)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于一点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.3．(2014北京，5分)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程为x2－y2＝1.答案：x2－y2＝14．(2014新课标全国Ⅰ，5分)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1解析：选D因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.5．(2014广东，5分)若实数k满足00，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C．4D.解析：选D根据已知条件，知||PF1|－|PF2||＝2a，所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a，双曲线的离心率e＝＝＝，选D.7．(2014湖北，5分)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选A关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线－＝1的渐近线为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点．故选A.8.(2014山东，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2，根据已知得a2＝c2.①由|AF|＝c，得＋a2＝c2.②由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.答案：y＝±x9．(2014浙江，5分)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．解析：联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为，，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝.答案：10．(2014四川，5分)双曲线－y2＝1的离心率等于________．解析：由双曲线的方程易得a＝2，b＝1，c＝，故离心率e＝＝.答案：11．（2013新课标全国Ⅰ，5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力．由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入抛物线方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2.答案：C12．（2013山东，5分）抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.解析：本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力．由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为y＝x....
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