高考数学百大经典例题——一元二次不等式解法(新课标)[]分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．例3若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知例4解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答(1){x|x＜2或x＞4}(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[]A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x＞1或x＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[]A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1D．(x－3)(2－x)≤0故排除A、C、D，选B．两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．说明：注意“零”．[][(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}答选C．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0．分析不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．解1°当a＝0时，原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2}；4°当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；从而可以写出不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2｝；a＝1时，{x|x≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：∵a＜0，∴b＞0，c＜0．解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．(1)当a＞0时，不等式化为(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13(2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．答填{x|x＜－1或x＞4}．例14(1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[]A．(UA)∩B＝RB．A∪(UB)＝RC．(UA)∪(UB)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查
VIP
