解答题(八)17．(2019·江西南昌一模)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求三棱锥B1－A1C1E的体积．解(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD.因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.又由四棱台ABCD－A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面．所以AA1⊥BD.(2)因为VB1－A1C1E＝VE－A1B1C1＝VB－A1B1C1＝VC－A1B1C1，又VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·CC1＝××22×sin×4＝，所以VB1－A1C1E＝.所以三棱锥B1－A1C1E的体积为.18．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．解(1) f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为π.又x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.(2) f(x0)＝2sin＝，∴sin＝，又x0∈，∴2x0＋∈，∴cos＝－＝－，∴cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.19．(2019·江西南昌师大附中三模)为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2019年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资(单位：百元)，得到这100名农民工月工资的中位数为39(假设这100名农民工的月工资均在[25,55]内)且月工资收入在[45,50)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：(1)求m，n的值；(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系”？参考公式及数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解(1) 月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，∴月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为＝0.15，由频率分布直方图得(0.02＋2m＋4n＋0.01)×5＋0.15＝1，化简得m＋2n＝0.07，①由中位数可得0.02×5＋2m×5＋2n×(39－35)＝0.5，化简得5m＋4n＝0.2，②由①②，解得m＝0.02，n＝0.025.(2)根据题意得到列联表：技术工非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数311950总计5050100∴K2＝＝5.76＜10.828，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“是不是技术工与月工资是否高于平均数有关”．20．(2019·山东济宁二模)已知函数f(x)＝lnx－xex＋ax.(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求f(x)的最大值．解(1)由题意知，f′(x)＝－(ex＋xex)＋a＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝(x＋1)ex－，则g′(x)＝(x＋2)ex＋＞0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1.(2)当a＝1时，f(x)＝lnx－xex＋x(x＞0)，则f′(x)＝－(x＋1)ex＋1＝(x＋1)，令m(x)＝－ex，则m′(x)＝－－ex＜0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于m＞0，m(1)＜0，所以存在x0＞0，满足m(x0)＝0，即ex0＝.当x∈(0，x0)时，m(x)＞0，f′(x)＞0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)＜0，f′(x)＜0.所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(x0)＝lnx0－x0ex0＋x0，因为ex0＝，所以x0＝－lnx0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，所以f(x)max＝－1.21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝2x＋m(m∈R且m≠0)与曲线E相交于P，Q两点，点M，求△MPQ面积的取值范围．解(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立消去y，可得6x2＋4mx＋m2－2＝0，∴Δ＝48－8m2>0，∴m2<6. x≠±1，∴m≠±2.又m≠0，∴0
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