3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i[答案]D[解析] z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,∴,∴,∴a+bi=-2-i.2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]C[解析]z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4[答案]B[解析]z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=()A.B.5C.D.5[答案]D[解析] z1-z2=5+5i,∴f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z=()A.-+iB.-iC.--iD.+i[答案]D[解析]设z=x+yi(x、y∈R),则x+yi+=2+i,因此有,解得,故z=+i,故选D.[点评] |z|∈R,z=2-|z|+i,∴z的虚部为1,因此可设z=a+i(a∈R),由此得a+i+=2+i解出a.6.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1[答案]D[解析]z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i. z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.二、填空题7.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________________.[答案]±2-2i[解析] z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,∴a2=12,∴a=±2,∴z=±2-2i.8.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=__________________.[答案]-1[解析]z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数,∴,解得a=-1.9.在复平面内,O是原点,OA、OC、AB对应的复数分别为-2+i、3+2i、1+5i,那么BC对应的复数为________________.[答案]4-4i[解析]BC=OC-OB=OC-(OA+AB)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.三、解答题10.已知平行四边形ABCD中,AB与AC对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.(1)求AD对应的复数;(2)求DB对应的复数;(3)求△APB的面积.[分析]由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD,DB对应的复数,先求出向量PA、PB对应的复数,通过平面向量的数量积求△APB的面积.[解析](1)由于ABCD是平行四边形,所以AC=AB+AD,于是AD=AC-AB,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即AD对应的复数是-2+2i.(2)由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即DB对应的复数是5.(3)由于PA=CA=-AC=,PB=DB=,于是PA·PB=-,而|PA|=,|PB|=,所以··cos∠APB=-,因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,故S△APB=|PA||PB|sin∠APB=×××=.即△APB的面积为.[点评](1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算.(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.一、选择题1.实数x、y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy的值是()A.1B.2C.-2D.-1[答案]A[解析] (1+i)x+(1-i)y=2,∴,解得.∴xy=1.2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4[答案]A[解析]由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA、OB对应的复数分别是3+i、-1+3i,则CD对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i[答案]D[解析]依题意有CD=BA=OA-OB,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即CD对应的复数为4-2i.故选D.4.(2015·九江高二检测)如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是()A.B.iC.+iD.+2i[答案]C[解析]设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi+=5+i,∴解得∴z=+i,故选C.二、填空题5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=__________________.[答案]-1+10i[解析] z1+z2...