3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i[答案]D[解析] z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴，∴，∴a＋bi＝－2－i.2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限．3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2B．4C．3D．－4[答案]B[解析]z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4.4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()A．B．5C．D．5[答案]D[解析] z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.5．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝()A．－＋iB．－iC．－－iD．＋i[答案]D[解析]设z＝x＋yi(x、y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，因此有，解得，故z＝＋i，故选D．[点评] |z|∈R，z＝2－|z|＋i，∴z的虚部为1，因此可设z＝a＋i(a∈R)，由此得a＋i＋＝2＋i解出a.6．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3B．2C．1D．－1[答案]D[解析]z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.二、填空题7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________________.[答案]±2－2i[解析] z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，∴a2＝12，∴a＝±2，∴z＝±2－2i.8．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝__________________.[答案]－1[解析]z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴，解得a＝－1.9．在复平面内，O是原点，OA、OC、AB对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么BC对应的复数为________________.[答案]4－4i[解析]BC＝OC－OB＝OC－(OA＋AB)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.三、解答题10．已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．(1)求AD对应的复数；(2)求DB对应的复数；(3)求△APB的面积．[分析]由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD，DB对应的复数，先求出向量PA、PB对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．[解析](1)由于ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD，于是AD＝AC－AB，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即AD对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB＝AB－AD，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB对应的复数是5.(3)由于PA＝CA＝－AC＝，PB＝DB＝，于是PA·PB＝－，而|PA|＝，|PB|＝，所以··cos∠APB＝－，因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，故S△APB＝|PA||PB|sin∠APB＝×××＝.即△APB的面积为.[点评](1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题1．实数x、y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是()A．1B．2C．－2D．－1[答案]A[解析] (1＋i)x＋(1－i)y＝2，∴，解得.∴xy＝1.2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4[答案]A[解析]由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4.3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA、OB对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则CD对应的复数是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i[答案]D[解析]依题意有CD＝BA＝OA－OB，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即CD对应的复数为4－2i.故选D．4．(2015·九江高二检测)如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是()A．B．iC．＋iD．＋2i[答案]C[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝5＋i，∴解得∴z＝＋i，故选C．二、填空题5．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________________.[答案]－1＋10i[解析] z1＋z2...
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