考点二十坐标系与参数方程解答题1．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．解(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1， x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝， 圆C的半径为1，∴△CMN的面积为××1×sin＝.2．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程并说明各曲线名称；(2)判断曲线C1与曲线C2的位置关系？若相交，求出弦长．解(1)由消去t得x－2y－3＝0，所以曲线C1的普通方程为x－2y－3＝0，是斜率为的直线．由ρ＝4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，配方得(x－2)2＋y2＝4，即曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．(2)由(1)知，曲线C2：(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝<2，所以曲线C1与曲线C2相交，弦长为2＝.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(θ为参数)，以射线Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－＝0.(1)求曲线C的普通方程，及直线l的参数方程；(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．解(1)曲线C的参数方程化成普通方程为＋＝1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的直角坐标方程为x－y－＝0，其倾斜角为，过点(，0)，所以直线方程化成参数方程为(t为参数，且t∈R)．(2)将代入＋＝1，得7t2＋6t－6＝0，Δ＝(6)2－4×7×(－6)＝384>0，设方程的两根是t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝＝＝.故直线l与曲线C相交所得的弦AB的长为.14．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．解(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.5．(2019·河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝2sinθ上任一点，点P满足OP＝3OM.设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的平面直角坐标方程；(2)已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线l：(t为参数)相交于A，B两点，求|OA|＋|OB|的值．解(1)设P(ρ，θ)， OP＝3OM，∴点M的极坐标为，代入曲线C，得＝2sinθ，即曲线Q的极坐标方程为ρ＝6sinθ， ρ2＝6ρsinθ，∴x2＋y2＝6y，∴x2＋(y－3)2＝9，∴曲线Q的平面直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9.(2)曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N的方程为x2＋(y－4)2＝9.l的参数方程化为两方程联立得t2－4t＋7＝0，∴t1＋t2＝4，t1t2＝7，∴|OA|＋|OB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝4.6．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝.2当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.解...
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