解答题(三)17．(2019·河南八市重点高中联盟第五次测评)已知等差数列{an}中，a3＝3，且a2＋2，a4，a6－2成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求{bn}的前2n项和S2n.解(1)设等差数列{an}的公差为d， a2＋2，a4，a6－2成等比数列，∴a＝(a2＋2)(a6－2)，∴(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2)，又a3＝3，∴(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化简得d2－2d＋1＝0，解得d＝1，∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.(2)由(1)得bn＝＝(－1)n＝(－1)n，∴S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝－＋－＋…＋＝－1＋＝－.18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，平面ABC⊥平面ACC′A′，AB＝BC＝CA＝AA′，D是棱BB′的中点．(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；(2)若∠A′AC＝60°，求二面角A′－CD－B′的余弦值．解(1)证明：如图，取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F，则E为OF的中点，OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，所以BB′FO是平行四边形．又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB.又平面AA′C′C⊥平面ABC，平面AA′C′C∩平面ABC＝AC，且OB⊥AC，OB⊂平面ABC，所以OB⊥平面ACC′A′，得DE⊥平面ACC′A′，又DE⊂平面DA′C，所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.(2)连接A′O，因为∠A′AC＝60°，所以△A′AC是等边三角形，设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，则A′O⊥平面ABC，由已知可得A′O＝OB＝.以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A′(0,0，)，BC＝(－，1,0)，BB′＝AA′＝(0,1，)，设平面BCC′B′的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BC＝0，m·BB′＝0，所以取x＝1，则y＝，z＝－1，所以m＝(1，，－1)．设平面A′CD的法向量为n＝(x′，y′，z′)，A′C＝(0,1，－)，CD＝CB＋BB′＝(，－1,0)＋＝，则n·A′C＝0，n·CD＝0，所以取x′＝0，y′＝，z′＝1，n＝(0，，1)，故cos〈m，n〉＝＝，又因为二面角A′－CD－B′为锐角，所以其余弦值为.19．(2019·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线x＋y＋m＝0上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．解(1)由题意得解得a2＝3b2，又＋＝1，解得所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)①当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得G(±，±1)．②当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设G(x0，y0)，x0≠±，切线方程为y＝k(x－x0)＋y0，代入椭圆方程得(3k2＋1)x2－6k(kx0－y0)x＋3(kx0－y0)2－3＝0，Δ＝[6k(kx0－y0)]2－4(3k2＋1)·[3(kx0－y0)2－3]＝0，化简得(kx0－y0)2－(3k2＋1)＝0，则(x－3)k2－2x0y0k＋y－1＝0，设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝.因为两条切线相互垂直，所以＝－1，即x＋y＝4(x0≠±)，由①②知点G在圆x＋y＝4上，又点G在直线x＋y＋m＝0上，所以直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，所以≤2，所以－2≤m≤2.综上所述，m的取值范围为[－2，2]．20．(2019·湖南永州第三次模拟)某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123机器台数20104030以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记X表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，P(X＝2)＝×＋××2＝，P(X＝3)＝××2＋××2＝，P(X＝4)＝×＋××2＝，P(X＝5)＝××2＝，P(X＝6)＝×＝.∴X的分布列为X0123456P(2)选择延保方案一，所需...
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