专题限时集训(十三)圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第143页)[建议用时：45分钟]1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右顶点A(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值．[解](1)由题意得解得所以C的方程为＋y2＝1.4分(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋，与＋y2＝1联立得(m2＋4)y2＋3my－＝0，6分由Δ＞0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，8分k1k2＝＝＝＝＝－，∴k1k2为定值，定值为－.15分2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．[解](1)由题意得∴故椭圆C的方程为＋＝1.4分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.6分由A，P，M三点共线可知＝，∴yM＝.8分同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝.10分∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝＝－.14分∴k1k2为定值－.15分3．(2017·杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)与圆C2：x2＋y2＝8的两个交点之间的距离为4，A，B为抛物线C1上的两点．(1)求p的值；(2)若C1在点A，B处切线垂直相交于点P，且点P在圆C2内部，直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|·|CD|的最小值．1图136[解](1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(－2,2)，(2,2)，则代入x2＝2py得p＝1.5分(2)设A，B，又x＝2y1，则PA的斜率为y′1＝x1.同理PB的斜率为y′2＝x2，所以x1·x2＝－1，两切线为y＝x1x－x，y＝x2x－x，交点为P，8分点P在圆内得x＋x＜33，直线AB为y＝x＋过抛物线的焦点，|AB|＝＋＋p＝(x＋x＋2)，10分设d为圆心到直线AB的距离，则|AB|·|CD|＝(x＋x＋2)·2，d＝，13分t＝x＋x＋2∈[4,35)，则|AB|·|CD|＝，最小值为2.15分4．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程；图137(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．【导学号：68334134】[解](1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，2且x1＋x2＝－，x1x2＝.6分故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，即－＋m2＝0.8分又m≠0，所以k2＝，即k＝±.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.设d为点O到直线l的距离，则d＝，10分|PQ|＝＝，11分所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1).15分3
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