第四章第七节1．(2014·湛江检测)在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为()A．1B．C．2D．3解析：选A S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2××AC＝，∴AC＝1.选A.2．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cosAcosC＝()A．B．C．－D．－解析：选C依题意得a2＋c2－b2＝ac，cosB＝＝＝.又0°＜B＜180°，所以B＝60°，C＋A＝120°.又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，cosAcosC＝cosAcos(90°＋A)＝－sin2A＝－sin30°＝－，选C.3．(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．B．C．D．解析：选C在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2××3×＝5，所以AC＝.由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠BAC＝.故选C.4．(2014·吉林一中调研)在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C的对边，A＝60°，b＝1，三角形面积为，则＝()A．2B．C．2D．2解析：选A根据题意S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，解得c＝2，由余弦定理可得a＝，由正弦定理得＝＝2R＝＝＝2.5．(2014·杭州模拟)△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝()A．2B．2C．D．解析：选D由条件及正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA，故＝＝.故选D.6．(2014·吉林一中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，tanA＝，cosB＝.若△ABC最长的边为1，则最短边的长为()A．B．C．D．解析：选D由cosB＝知B为锐角，∴tanB＝，故tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－＝－1，所以∠C＝135°，故边c最长，从而c＝1，又tanA＞tanB，故b边最短， sinB＝，sinC＝，由正弦定理得＝，所以b＝＝，即最短边的长为，故选D.7．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．解析：由正弦定理得，＝，从而＝，即sin∠B＝，∴∠B＝或∠B＝.由a＞b可知∠B＝不合题意，∴∠B＝.∴∠C＝π－＝.8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则△ABC外接圆的直径是________．解析：由题意，知bcsinA＝，所以c＝4.由余弦定理，知a＝＝，由正弦定理，得2R＝＝＝，即△ABC外接圆的直径是.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，sinBsinC＝sin2A，则△ABC是________三角形．(从“等腰”、“等边”、“等腰直角”、“直角”中选择一个填空)解析：等边由已知得cosA＝＝＝，又∠A是△ABC的内角，∴A＝.由sinBsinC＝sin2A及正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．10．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，B＝，sinC＝，则a＝________.解析：6根据正弦定理得＝，则c＝＝2，再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．11．(2013·新课标全国高考Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB．(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝2(2＋)，当且仅当a＝c时等号成立．所以ac≤＋1.即△ABC面积的最大值为＋1.12．(2014·温州十校联合体测试)已知λ∈R，f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2满足f＝f(0)．(1)求函数f(x)的对称轴和单调递减区间；(2)设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且＝－，求f(x)在(0，A]上的值域．解：(1)f(x)＝λsinxcosx－cos2x＋sin2x＝λsin2x－cos2x， f＝f(0)，∴λ＝2∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin.由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.∴函数图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数的递减区间为(k∈Z)．(2)由条件及正弦定理得＝－＝－，∴－sinAcosB＝cosA(sinB＋2sinC)整理得sin(A＋B)＝sinC＝－2cosAsinC...
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