§2.5离散型随机变量的均值与方差第二章概率(一）.教学目标：1.理解取有限的离散型随机变量的均值与方差的概念；能计算离散型随机变量的均值与方差，并能对所求的结果进行解释；2.能结合离散型随机变量的均值和方差知识，对生活中的随机现象进行解释，能解决一些实际问题。3.进一步体会和感受概率知识在生活中的作用，进一步培养利用数学知识解决实际问题的能力。（二）重点和难点：重点：对离散型随机变量分布列均值及方差的理解；均值和方差的求解公式。难点：利用离散型随机变量分布列的均值和方差解释随机现象，解决实际问题。基础知识自主学习1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r).(1)均值EX＝,均值EX刻画的是.(2)方差DX＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的.DX＝知识梳理a1p1＋a2p2＋…＋arprX取值的“中心位置”E(X－EX)2平均偏离程度rrpEXapEXapEXa2222121)()()(2.二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝，DX＝.3.超几何分布的均值设X服从参数为N,M，n的超几何分布的均值EX=npnp(1－p)题型分类深度剖析命题角度1已知分布列求方差类型一求离散型随机变量的方差典例1已知X的分布列如下：(1)求X2的分布列；解答X－101P1214a从而X2的分布列为解由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，X201P1434(2)计算X的方差；解答解方法一由(1)知a＝14，所以X的均值EX＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差DX＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二由(1)知a＝14，所以X的均值EX＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值EX2＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝1116.(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.解答解因为Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.反思与感悟典例2某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；题型二离散型随机变量的均值、方差多维探究解设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝56×45×34＝12.解答解答(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值.解依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为X123P161623所以EX＝1×16＋2×16＋3×23＝52.离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华解答跟踪训练为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；14，16；12，23；解答(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ，方差Dξ.跟踪练习：某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为...
