第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案B因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=|a·0+b·0-1|❑√a2+b2=1❑√a2+b2<1.故直线与圆O相交.2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0答案B 过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,∴点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上, 圆心与切点连线的斜率k=1-03-1=12,∴切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.3.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2❑√2,则实数a的值为()A.-1或❑√3B.1或3C.-2或6D.0或4答案D因为圆(x-a)2+y2=4,所以圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线的距离d=|a-2|❑√2,则d2+(2❑√22)2=4,解得a=4或0.故选D.4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0答案C由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为❑√2,所以|-k-2+2k+3|❑√k2+1=❑√2,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.5.(2019四川南充模拟)已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,则圆O2的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32答案C设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.圆心O1到直线AB的距离d=|r2-14|4❑√2,由d2+22=6,得(r2-14)232=2,所以r2-14=±8,r2=6或22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.6.过点A(❑√3,1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是.答案[0,π3]解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=❑√3,此时直线l与圆相离,没有公共点,不符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-❑√3),即kx-y-❑√3k+1=0.因为直线l和圆有公共点,所以圆心到直线的距离小于或等于半径,则|-❑√3k+1|❑√k2+1≤1,解得0≤k≤❑√3,所以直线l的倾斜角的取值范围是[0,π3].7.若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是.答案x-y+1=0解析直线l:y=kx+1过定点P(0,1).圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4.故圆心C(1,0),半径r=2.则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PC⊥l时,直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,因为kPC=1-00-1=-1,所以直线l的斜率k=1,则直线l的方程是x-y+1=0.8.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.答案0或6解析由x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为3.由AC⊥BC,知△ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离d=3❑√22,即|-1-2+a|❑√12+(-1)2=3❑√22,所以|a-3|=3,即a=0或a=6.9.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以|2k-3+1|❑√1+k2<1.解得4-❑√73
