§10.2双曲线及其性质考点二双曲线的几何性质及应用23.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当ab时,e1e2答案D依题意有e1==,e2==.而-=,∵a>0,b>0,m>0,∴当a>b时,<,有e1,有e1>e2.故选D.25.(2013湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案Dθ∈时,00)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()A.B.C.D.答案B解法一:直线BF1的方程为y=x+b,由得P,由得Q.从而有线段PQ的中点为N.又由|F1F2|=|F2M|,知M(3c,0),则kMN=,又kMN×=-1,得a2=2b2,即2c2=3a2,故e=.解法二:由解法一,知N,则直线MN的方程为y-=-.从而得M,又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=.评析本题考查双曲线离心率的概念,双曲线的基本性质和线段垂直平分线的性质.考查方程思想和运算求解能力.27.(2011湖南,5,5分)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1答案C双曲线-=1的渐近线方程为-=0,整理得3x±ay=0,故a=2,选C.评析本题考查双曲线渐近线的求法,属中档题.28.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案-=1;y=±2x解析根据题意,可设双曲线C:-x2=λ,将(2,2)代入双曲线C的方程得λ=-3,∴C的方程为-=1.渐近线方程为y=±2x.评析本题考查双曲线的基本性质,双曲线的渐近线等知识,若不熟悉共渐近线的双曲线系方程,则必须分类讨论求解.29.(2012湖北,14,5分)如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则(1)双曲线的离心率e=;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=.答案(1)(2)解析(1)由题意知在Rt△F1OB2中,OB⊥F1B2且|OF1|=c,|OB2|=b,|OB|=a,∵|F1B2|·|OB|=|OF1|·|OB2|,∴a=bc,∴a2(b2+c2)=b2c2,∴+=·,∴e2-1+e2=(e2-1)e2,即e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.∵e>1,∴e=.(2)记∠B2OB=θ,则|AB|=2asinθ,|BC|=2acosθ,其中sinθ=,cosθ=,∴S2=|AB||BC|=,又∵S1=2bc,∴==·=(e2-1)e2=××=.评析本题考查双曲线,圆,菱形及直角三角形等基础知识,考查学生的推理论证能力和运算求解能力.综合运用几何知识分析题中的数量关系,利用好离心率e的比值意义,准确运算是求解的关键.30.(2012江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为.答案2解析∵m2+4>0,∴a2=m,b2=m2+4,c2=m2+m+4,∴==5,∴m=2.评析本题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,考查运算求解能力.31.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,∴-=1,∴=5,∴e==.
