3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED(E在C，D之间)．求证：∠CBE＝∠BDE.证明：因为CA为圆O的切线，所以CA2＝CE·CD，又CA＝CB，所以CB2＝CE·CD，即＝，又∠BCD＝∠BCD，所以△BCE∽△DCB，所以∠CBE＝∠BDE.B．[选修4－2：矩阵与变换]设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．解：法一：在直线l：ax＋y－7＝0上取点M(0,7)，N(1，7－a)，由＝，＝，可知点M(0,7)，N(1,7－a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)，由题意可知：M′，N′在直线9x＋y－91＝0上，∴解得∴实数a，b的值分别为2,13.法二：设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′，y′)，则＝，∴由Q(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴27x＋(－x＋by)－91＝0，即26x＋by－91＝0，∵点P在ax＋y－7＝0上，∴＝＝，解得a＝2，b＝13.∴实数a，b的值分别为2,13.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l和圆C的极坐标方程分别为ρcos＝a(a∈R)和ρ＝4sinθ.若直线l与圆C有且只有一个公共点，求a的值．解：由ρcos＝a，得ρcosθ－ρsinθ＝a，故化为直角坐标方程为x－y－2a＝0，由圆C的极坐标方程ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，若直线l与圆C只有一个公共点，则圆心C到直线l的距离等于半径，故d＝＝2，解得a＝1或a＝－3.D．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab.证明：∵ba>0，ab>0，∴要证ba>ab，只要证alnb>blna,只要证>，构造函数f(x)＝，x∈(e，＋∞)．则f′(x)＝，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0在区间(e，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在x∈(e，＋∞)上是单调递减的，所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>，故ba>ab得证．2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X是奇数的概率；(2)求X的概率分布及数学期望．解：(1)记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X是奇数的个数是CCA－CCA＝28，所以P(A)＝＝.故X是奇数的概率为.(2)X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成，所以P(X＝3)＝＝；当X＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成，所以P(X＝4)＝＝；当X＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成，所以P(X＝5)＝＝；当X＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成，所以P(X＝6)＝＝；当X＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成，所以P(X＝7)＝＝；当X＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成，所以P(X＝8)＝＝；当X＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成，所以P(X＝9)＝＝.所以X的概率分布为：X3456789P故E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＝.3．设P(n，m)＝(－1)kC，Q(n，m)＝C，其中m，n∈N*.(1)当m＝1时，求P(n,1)·Q(n,1)的值；(2)对∀m∈N*，证明：P(n，m)·Q(n，m)恒为定值．解：(1)当m＝1时，P(n,1)＝(－1)kC＝(－1)kC＝，又Q(n,1)＝C＝n＋1，显然P(n,1)·Q(n,1)＝1.(2)证明：P(n，m)＝(－1)kC＝1＋(－1)k(C＋C)＋(－1)n＝1＋(－1)kC＋(－1)kC＝P(n－1，m)＋(－1)kC＝P(n－1，m)－(－1)kC＝P(n－1，m)－P(n，m)即P(n，m)＝P(n－1，m)，由累乘，易求得P(n，m)＝P(0，m)＝，又Q(n，m)＝C，所以P(n，m)·Q(n，m)＝1.
