多题一法专项训练(二)换元法一、选择题1．若f(lnx)＝3x＋4，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝3lnxB．f(x)＝3lnx＋4C．f(x)＝3exD．f(x)＝3ex＋42．函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值为()A.＋B.－C．2D.3．已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是()A．(2＋2，＋∞)B．(－∞，2＋2)C．(0,2＋2)D．(2＋2，8)4．函数y＝3－4的最小值为()A．－8B．8C．－10D．105．(2015·天津六校联考)对于函数f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m的取值范围是()A.B.C．(－∞，1]D．[1，＋∞)6．已知向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是()A．[－6,1]B．[4,8]C．(－6,1]D．[－1,6]二、填空题7．已知不等式>ax＋的解集是(4，b)，则a＝________，b＝________.8．(2015·苏锡常镇二调)已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________．9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB为圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为________．三、解答题11．已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，求a的值．12．(2015·济南期末)已知函数f(x)＝是R上的奇函数．(1)求m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a.若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．答案1．选D令lnx＝t，则x＝et，故f(t)＝3et＋4，得f(x)＝3ex＋4，故选D.2．选A令t＝sinx＋cosx，t∈[－，]，则y＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，t＝时，ymax＝＋.3．选B令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2.即实数t的取值范围是(－∞，2＋2)．4．选A由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为()2＋()2＝4，故可设则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ).因为θ∈0，，所以θ－φ∈.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8.5．选B若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，即4－m·2＝－4＋m·2＋1，所以＋4＝2m，令t＝2(t＞0)，则＋t2＝2m，令λ＝＋t(λ≥2)，所以2m＝λ－，令g(λ)＝λ－(λ≥2)，易知g(λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m≥2－＝1，故m≥.故选B.6．选A由题知，2b＝(2m，m＋2sinα)，所以λ＋2＝2m，且λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即解得－≤λ≤2，则＝＝2－∈[－6,1]．选A.7．解析：令＝t，则t>at2＋，即at2－t＋<0.其解集为(2，)，故解得a＝，b＝36.答案：368．解析：原不等式即≥1＋－(*)，令＝t，t≥1，则x＝t2－1，所以(*)即≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立，又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.答案：89．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＝2a＋b，2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得，2a＋b＋2c＝2a＋b2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4得，1＜≤，即1＜2c≤，所以0＜c≤log2＝2－log23，所以c的最大值是2－log23.答案：2－log2310．解析：连接OD，DB，作DH⊥AB，设∠AOD＝θ，θ∈，则CD＝4cosθ，在△AOD中，由余弦定理可得AD＝，所以梯形的周长为l＝2＋4cosθ＋4＝4·＋4cosθ＋4，令＝t∈(0,1)，则cosθ＝1－t2，l＝4t＋4(1－t2)＋4＝4(－t2＋t＋2)，当t＝，即cosθ＝时周长取得最大值，此时AD＝2，DB＝2，所以实轴长为DB－DA＝2－2.答案：2－211．解：令t＝sinx，t∈[－1,1]，所以y＝－2＋(a2－a＋2)，对称轴为t＝.(1)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，ymax＝(a2－a＋2)＝2，得a＝－2或a＝3(舍去)．(2)当>1，即a>2时，函数y＝－2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.(3)当<－1，即a<－2时，函数y＝－2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去)．综上，可得a＝－2或a＝.12．解：(1)由函数f(x)是R上的奇函数可知，f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．即方程＝2x＋1－a至少有一个实根，方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．令t＝2x＞0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1＞0，所以只需解得a≥2.所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
