2017春高中数学第3章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2016·浙江嘉兴一模)已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为(C)A．5B．4C．2D．1[解析]由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝，∴k1k2＝＝－1，∴b＝>0，∴|ab|＝||＝|a|＋≥2，等号成立时|a|＝，∴a＝±1，b＝2，∴|ab|的最小值为2.2．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为(B)A．B．C．2D．4[解析] 2是2a与b的等差中项，∴2a＋b＝4.又 a>0，b>0，∴2ab≤()2＝()2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号．∴≥.故选B．3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(D)A．>B．＋≤1C．≥2D．≤[解析] a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，故选D．4．(2015·福建厦门高二期末)已知a>b，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(C)A．7B．8C．9D．10[解析] a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，∴m≤[(2a＋b)(＋)]min. (2a＋b)(＋)＝5＋2(＋)≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b时取等号．∴m的最大值等于9.故选C．5．(2015·云南省统考)已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(A)A．B．C．D．[解析]根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，∴c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.16．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(A)A．18B．12C．2D．[解析] x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立． x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.二、填空题7．已知a>b>c，则与的大小关系是≤.[解析] a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．8．(2015·洛阳市期末)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为[，＋∞).[解析]解法1：首先a＝0时不满足题意；若a≠0则由题意得：Δ＝1－8a2≤0，且a>0，解得a≥.解法2：首先若a＝0，显然不合题意，若a<0，显然x＝0满足不等式；∴a>0.令t＝|x|，则t≥0，原不等式化为at2－t＋2a<0，由题意知at2－t＋2a<0在[0，＋∞)上无实数根．从而at2－t＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≥. t>0时，＝≤＝，等号成立时，t＝，即t＝，又t＝0时＝0，∴a≥.三、解答题9．(如图)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解析]设矩形的一边长为xm，则另一边长为m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4)m，长为(－2)m.由得4＋＋.2[证明](1) a、b、c∈R＋，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，(当且仅当a＝b＝c时上式等号成立)三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c.(2) a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．∴a＋b＋c>＋＋.能力提升一、选择题11．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(A)A．7B．3C．1＋2D．5[解析]由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．故选A．12．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(D)A．B．C．2D．4[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，...
