第三节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+2.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值3.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数4.函数y=xlnx有极值,为.5.如图是y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断:①f(x)在[-2,-1]上是增函数;②x=-1是f(x)的极小值点;③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;④x=3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是.(填序号)6.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是.7.(2017北京丰台二模,18)已知函数f(x)=ex-alnx-a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:∀a∈(0,e),f(x)在区间上有极小值,且极小值大于0.8.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-,其中a>0.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).(其中e是自然对数的底数)B组提升题组9.已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-1,则a=,b=.10.(2016北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=0,则f(x)的最大值为;②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.11.(2017北京西城一模,18)已知函数f(x)=ex-x2.设直线l为曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,其中x0∈[-1,1].(1)求直线l的方程(用含x0的式子表示);(2)设O为原点,直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求△AOB的面积的最小值.12.(2017北京海淀期中)已知函数f(x)=x3-9x,函数g(x)=3x2+a.(1)若直线l是曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线,且l与曲线y=g(x)相切,求a的值;(2)若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解,求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.DA选项中,函数y=x3单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函数,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.D由题意得x∈R,y'=1-·(1+x2)'=1-=≥0,所以函数y=x-ln(1+x2)无极值.3.D 函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,图象开口向上,对称轴为x=a,∴a<1.g(x)==x+-2a.若a≤0,则g(x)=x+-2a在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增.若0
0),当y'=0时,x=e-1;当y'<0时,00时,x>e-1.∴y=xlnx在(0,e-1)上是减函数,在(e-1,+∞)上是增函数.∴y=xlnx有极小值y=-.5.答案②③解析① f'(x)在[-2,-1)上是小于0的,∴f(x)在[-2,-1]上是减函数,①不对;② f'(-1)=0且在x=-1附近两侧的导数值为左负右正,∴x=-1是f(x)的极小值点,②对;③在(-1,2)上导数值大于0,在(2,4)上导数值小于0,所以f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,③对;④x=3附近左右两侧导数值的符号都为负,所以x=3不是f(x)的极值点,④不对.6.答案+解析y'=1-2sinx,令y'=0,结合x∈,解得x=,易知当x∈时,y'>0;当x∈时,y'<0,故在上,函数y=x+2cosx在x=时取最大值+.7.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),因为a=e,所以f(x)=ex-e(lnx+1),所以f'(x)=ex-.因为f(1)=0,f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0.(2)证明:因为00,所以∃x0∈,使得-=0.所以∀x∈,f'(x)<0;∀x∈(x0,1),f'(x)>0,故f(x)在上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x)有极小值f(x0).因为-=0,所以f(x0)=-a(lnx0+1)=a.设g(x)=a,x∈,则g'(x)=a=-,所以g'(x)<0,即g(x)在上单调递减,所以g(x)>g(1)=0,即f(x0)>0,所以函数f(x)的极小值大于0.8.解析(1)当a=2时,f(x)=x-3lnx-,f'(x)=,此时,f(1)=-1,f'(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.(2)f(x)=x-(a+1)lnx-的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+=,令f'(x)=0,得x=a或x=1.①当00,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=1-a;②当1
