4.6正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于()．A．135°B．105°C．45°D．75°解析由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－，∴C＝120°.答案C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析：直接根据正弦定理可得＝，可得sinB＝＝＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()．A．－B.C．－1D．1解析根据正弦定理，由acosA＝bsinB，得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案D5.在ABC中，角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为（）A.32B.22C.12D.12解析2122cos2222222baccabcbaC，故选C.答案C6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()．A.B.C.D.解析由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是可得b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥，注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.答案C7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(1)．A.B．8－4C．1D.解析依题意得，两式相减得ab＝，选A.答案A二、填空题8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.答案9.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，角C＝________.解析：根据正弦定理，＝，由a＝2csinA，得＝，∴sinC＝，而角C是锐角．∴角C＝.答案：10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为______．答案6∶5∶411．若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值________．解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝BC，得＝，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|≤2，故答案为2.答案212．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析法一取a＝b＝1，则cosC＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，∴c＝，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanA＝tanB＝，又sinC＝，tanC＝2，∴＋＝4.法二由＋＝6cosC，得＝6·，2即a2＋b2＝c2，∴＋＝tanC＝＝＝4.答案4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，法一如图(1)，图(1)a2＝BC·BC＝(AC－AB)·(AC－AB)＝AC2－2AC·AB＋AB2＝AC2－2|AC|·|AB|cosA＋AB2＝b2－2bccosA＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.法二图(2)已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3.联立解得a＝1或a＝3.15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB.（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.316．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．解析(1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝，所以＝.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此＝2.(2)由＝2得c＝2a.由余弦定理及cosB＝得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.4
