第9课时导数的综合应用基础达标(水平一)1.函数y=x3-4x+4的图象(如图)为().【解析】当y'=x2-4=0时,x=±2.当x∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,y单调递增;当x∈(-2,2)时,y单调递减.当x=2时,y=-;当x=-2时,y=.【答案】A2.已知函数f(x)=+lnx,则有().A.f(2)
0在x∈(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(2)f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为.【解析】设g(x)=,则g'(x)=.∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上是单调递减函数.又∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式<2等价于g(x)0,∴不等式的解集为(0,+∞).【答案】(0,+∞)7.若函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.2【解析】显然函数f(x)=lnx-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=-2a2x+a==.当a=0时,f'(x)=>0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a>0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≥1.当a<0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≤-.综上所述,实数a的取值范围是∪[1,+∞).拓展提升(水平二)8.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为().A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=ln1-1=-1.【答案】B9.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为().3A.1B.2C.3D.-1【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0,得x=.又a>,所以0<<2.令f'(x)>0,得0,所以f(x)在上单调递减.所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f=ln-a·=-1,所以ln=0,所以a=1.【答案】A10.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.x-10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;③函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数;④当1g(x)+.【解析】(1)f'(x)=1-=,当00,f(x)单调递增,∴f(x)的极小值为f(1)=1.(2)g'(x)=,令g'(x)≥0,得0g(x)+.5
