【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.1参数方程的概念学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是()A.(9，－1)B.(－3,1)C.(1,3)D.(2,2)【解析】设D点坐标为(x，y)，则即∴故D点坐标为(1,3).故应选C.【答案】C2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两条直线B.四条直线C.两个点D.四个点【解析】由方程得解得或或或故选D.【答案】D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A.y＝cosxB.y＝3cosxC.y＝2cosxD.y＝cos3x【解析】由得代入y＝cos2x，得＝cosx′.∴y′＝cosx′，即曲线y＝cosx.【答案】A4.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A.x＋y－1＝0B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0D.x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C5.平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是()【导学号：12990002】A.B.C.2D.3【解析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4，c＝2,2a＝3，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝4－＝.∴点P的轨迹方程为－＝1.由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是.【答案】A二、填空题16.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆.【答案】椭圆7.已知点A(－2,0)，B(－3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2＋1，则点P的轨迹方程是____________.【解析】由题意得PA＝(－2－x，－y)，PB＝(－3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1，即y2＋5x＋5＝0.【答案】y2＋5x＋5＝08.如图112所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________.图112【解析】过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连结PH，PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.【答案】y2＝x－三、解答题9.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，求城市B处于危险区内的时间.【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km).所以＝1，所以城市B处于危险区内的时间为1h.10.A为定点，线段BC在定直线l上滑动.已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程.【解】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图)，则A点的坐标为(0,3).设外心P点的坐标为(x，y). P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0). P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即＝，2化简得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程.能力提升]1.方程x2＋xy＝0的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】x2＋xy＝x(x＋y)＝0，即x＝0或x＋y＝0.故方程x2＋xy＝0表示两条直线.【答案】C2.已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinB－sinC＝sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是()【导学号：12990003】A.－＝1B.－＝1(x<－3)C.－＝1D.－＝1(x<－3)【解析】由题意知，B(－6,0)，C(6,0)由sinB－sinC＝sinA，得b－c＝a＝6，即|AC|－|AB|＝6.所以点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0.其方程为－＝1(x<－3).【答案】B3.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲...
