2.2.2椭圆的简单几何性质基础练习1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则实数m的值是()A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由题意可得2＝2×2，解得m＝.2．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有()A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长短轴【答案】A【解析】将＋＝k转化为椭圆的标准方程＋＝1，可以发现与＋＝1有相同的离心率．3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋y2＝1D．＋＝1【答案】D【解析】由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a，所以a＝2.又e＝＝，所以c＝1，则b2＝a2－c2＝3.所以椭圆的标准方程为＋＝1.4．(2019年福建泉州期末)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5【答案】A【解析】∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，∴解得6b>0)，＋＝1(a>b>0)，然后把点代入，解方程组得＋＝1或＋＝1.6．设AB是椭圆Г的长轴，点C在Г上且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Г的两个焦点之间的距离为________．【答案】【解析】如图，设椭圆的标准方程为＋＝1，由题意，知2a＝4，a＝2.∵∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为C(－1,1)．∵点C在椭圆上，∴＋＝1.∴b2＝.∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝.1则Γ的两个焦点之间的距离为2c＝.7．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．解：∵椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，∴点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点．∴|OF|＝c，|AF|＝＝＝a＝3，＝.∴c＝2，b2＝32－22＝5.故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.8．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0,1)，离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由得|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝.能力提升9．(2019年广东广州模拟)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|,2c＝|F1F2|＝|PF2|，则e＝＝＝.故选A．10．(2017年新课标Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)【答案】A【解析】当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，得0＜m≤1；当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，得m≥9.所以m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A．11．(2019年江苏徐州模拟)已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．【答案】[8,10]【解析】由题意知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝.因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝.因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10.212．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF2·F1F2＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．解：∵AF2·F1F2＝0，∴AF2⊥F1F2.设A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2，知x＝c，∴A(c，y)，代入椭圆方程，得＋＝1，解得y＝.∵△AOF2的面积为2，∴cy＝2，即c·＝2.∵e＝＝，∴b2＝8，a2＝2b2＝16.故椭圆的方程为＋＝1.3
