课时分层作业(十六)数学归纳法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4C[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为()A．Sk＋B．Sk＋＋C．Sk＋－D．Sk＋－C[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.]3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了()【导学号：31062168】A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项D[当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．]4．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对B[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．]二、填空题16．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立， n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________.【导学号：31062170】[解析]当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．[答案]2k＋28．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．[解析]a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.[答案]an＝三、解答题9．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[解](1)①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·.∴当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．10．已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.2【导学号：31062171】[解](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝猜想：fn(x)＝，(n∈N*)(2)下面用数学归纳法证明，fn(x)＝(n∈N*)①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．[能力提升练]1．利用数学归纳...
