【成才之路】2015-2016学年高中数学3.4第1课时基本不等式练习新人A教版必修5一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为()A．B．C．D．1[答案]B[解析]令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝. t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3[答案]C[解析] a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1. 0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2. 0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C．3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为()A．B．3C．D．1[答案]C[解析] x>0，y>0,2x＋3y＝6，∴xy＝(2x·3y)≤·()2＝·()2＝，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.故选C．4．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝＋B．y＝lgx＋(1
1显然不成立，∴A不正确；lgx＋≥2，当且仅当lgx＝，1即x＝10或时，等号成立，而10，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．[答案]9[解析]因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.[易错分析]本题易出现以下错解：由x＋2y＝2≥2，解得00，则函数y＝的最小值是________．[答案]－2[解析] t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．[解析](1) x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又 2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.2(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．[解析]设一条直角边长为xcm，(00.则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C．＋>D．＋≥2[答案]D[解析]a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D．12．若02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．13．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥[答案]B[解析] 这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B．14．a＝(x－1,2)...
