【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.答案422.已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为________.解析由等比中项知y2＝3，∴y＝±，又 y与－1，－3符号相同，∴y＝－，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3.答案－33.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为________.解析设数列{an}的公比为q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.答案2或4.(2016·湘潭模拟)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为________.解析设数列{an}的公比为q(q＞0)，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，又a2＝1，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.答案5.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于________.解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，1故S40－S30＝80.S40＝150.答案1506.(2016·苏、锡、市、镇模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则{an}的公比q等于________.解析 S1，S3，S2成等差数列，∴a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2). a1≠0，q≠0，∴解得q＝－.答案－7.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}的前9项和等于________.解析正项等比数列{an}的公比q＝＝＝2，a1＝＝2，∴S9＝＝1022.答案10228.(2016·成都诊断)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.答案8二、解答题9.(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.210.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*).(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式.(1)证明依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.(2)解由(1)知an＝，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3·－1(n≥2).当n＝1时也满足，所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·－1(n∈N*).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015·南通二模)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________.解析 4a1，a5，－2a3成等差数列，∴2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，又 a1＝4，则有q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，∴q＝±1.答案±112.(2016·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于________.解析 a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).答...
