课下层级训练(二十六)平面向量的数量积及应用举例[A级基础强化训练]1．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－B．－3C．D．3C[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.]2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5A[由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.]3．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1A[因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.]4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2D[ a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.]5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1·EF2的最大值、最小值分别为()A．9,7B．8,7C．9,8D．17,8B[由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8.]6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__________.－2[ |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]7．(2018·安徽合肥检测)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为__________.[由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ＝＝.]8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝__________.4[由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.]9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．10．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤，于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.[B级能力提升训练]11．设a，b为单位向量，且a⊥b，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是()A．2B．2C．D．1A[由题意结合a⊥b，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由|c－(a＋b)|＝|a－b|，得|(x，y)－(1,1)|＝|(1，－1)|，由此可得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即c对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示． 圆过原点，∴|c|的最大值为圆的直径2.]12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2C．D．2A[建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD． CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝，EC＝＝＝，即圆C的半径为，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.设P(x0，y0)...
