【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算习题理新人教A版一、填空题1.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为________.解析由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.答案e2.设y＝x2ex，则y′＝________.解析y′＝2xex＋x2ex＝ex.答案(2x＋x2)ex3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－14.(2015·苏北四市模拟)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.解析由y′＝2ax，又点(1，a)在曲线y＝ax2上，依题意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.答案15.(2015·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________.解析y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.答案6.(2015·长春质量检测)若函数f(x)＝，则f′(2)＝________.解析 f′(x)＝，∴f′(2)＝.答案7.(2016·南师附中调研)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－， g′(x)＝f(x)＋xf′1(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______.解析y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.答案－3二、解答题9.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又 点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).(2) 直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－. l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.10.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.解(1)y′＝2x＋1，f′(1)＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，b＝－.所以直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程组得2又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)，，S＝××＝.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)12.若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.解析 f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋(x＞0). f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号).答案[2，＋∞)13.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)＝(a为常数，e为自然对数的底数)的图象在点A(e，1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是________.解析函数f(x)在A(e，1)处的切线方程为y＝x.故问题等价于直线y＝x与函数y＝(x＋2)·(x－a)在(－∞，1)上有2个公共点，即方程x＝(x＋2)(x－a)在(－∞，1)上有2个不等实根.整理得a＝(x＜1，x≠－2).令g(x)＝(x＜1，x≠－2)，g′(x)＝，令g′(x)＝＝0，得...
