2.3.3直线与圆的位置关系课后篇巩固提升基础达标练1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由{x+y=0,x+3y+2=0,得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.答案D2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则()A.E≠0,D=F=0B.D≠0,E≠0,F=0C.D≠0,E=F=0D.F≠0,D=E=0解析由题意得,圆心坐标为(-D2,-E2),圆心在y轴上,所以D=0,圆与x轴相切于原点,所以E≠0,半径为|-E2|=12√D2+E2-4F,化简可得F=0.答案A3.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y-2=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=0解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.答案B4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2√2,则实数a的值为()A.0或4B.0或3C.-2或6D.-1或√3解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2√2,所以圆心到直线的距离d=√22-(2√22)2=√2.又d=|a-2|√2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.答案A5.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m等于()A.6B.8C.11D.9解析圆C:x2+y2+2x-2y-6=0可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为2√2,由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m|5=2. m>0,∴m=9.答案D6.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为;由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为.解析圆C:x2+y2=2的圆心坐标为C(0,0),半径r=√2.圆心C到直线x+y+1=0的距离d=|1|√2=√22.∴直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为2√(√2)2-(√22)2=√6.圆心C到直线x+y+3=0的距离d1=|3|√2=3√22,则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为√(3√22)2-(√2)2=√102.答案√6√1027.已知对任意实数m,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m分别与圆C:(x-1)2+(y-m)2=1相交于A,C和B,D,则四边形ABCD的面积为.解析由题意,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m交于圆心(1,m),且互相垂直,∴四边形ABCD是正方形,∴四边形ABCD的面积为4×12×1×1=2.答案28.自圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是.解析设点P的坐标为(x,y),则|PO|=√x2+y2. ∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=√2|OM|=√2,∴√x2+y2=√2,即x2+y2=2.答案x2+y2=29.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2√7,求此圆的方程.解因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2√7,则有(|3b-b|√2)2+(√7)2=9b2,解得b=±1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线l过原点O.(1)若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若AP⊥BP,求直线l的方程.解(1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,得|2k-2|√k2+1=√3,整理为k2-8k+1=0,解得k=4±√15.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线l的方程为y=kx.联立方程{(x+2)2+(y+2)2=3,y=kx,消去y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1,y1y2=5k2k2+1,由⃗PA=(x1+2,y1),⃗PB=(x2+2,y2),则⃗PA·⃗PB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,代入化简得⃗PA·⃗PB=5k2+1−8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,由AP⊥BP,有⃗PA·⃗PB=0,得9k2-8k+1=0,解得k=4±√79,则直线l的方程为y=4+√79x或y=4-√79x.能力提升练1.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+√2=0的距离为1的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2, 圆心到直线l:x+y+√2=0的距离d=|-1+1+√2|√12+12=1<2,结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.答案C2.(多选)已知点A是直线l:x+y-10=0上...
