课时作业(十七)均值不等式A组(限时：10分钟)1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．6C．4D．18解析：∵3x>0,3y>0，∴3x＋3y≥2＝2＝2＝18.答案：D2．如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是()A．4B．4C．9D．18解析：∵m>0，n>0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4，∴mn＝81.∴m＋n≥2＝18.答案：D3．已知第一象限的点(a，b)在直线2x－3y－1＝0上，则＋的最小值为()A．24B．25C．26D．27解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以有2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.答案：B4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．解析：∵x>0，a>0，∴9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时取等号．从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a＋1，∴a≥.答案：5．已知函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n>0，求＋的最小值．解：由题意，得点A(2,1)，则1＝2m＋n，又m，n>0，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，则＋的最小值为8.B组(限时：30分钟)1．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y都是正数，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2解析：∵x＋4y＝40且x>0，y>0，∴xy＝·x·4y≤·2＝100，当且仅当x＝4y＝20时取等号，∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，∴lgx＋lgy的最大值为2.答案：D2．若a，b∈R，且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是()A．2B．3C．4D．51解析：∵a＋b＝0，∴b＝－a，∵2a>0,2b＞0，∴2a＋2b＝2a＋2－a＝2a＋≥2，当且仅当2a＝1时，即a＝0，b＝0时取等号，∴2a＋2b的最小值为2.答案：A3．已知00，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．答案：A4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.B.C．5D．6解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5.当且仅当＝，即x＝2y时取“＝”．答案：C5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＝0，所以>a，即v>a.故选A.答案：A6．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()A．－3B．2C．3D．8解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因数x>－1，所以x＋1>0，>0.所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3，选C.答案：C7．已知x>0，则的最大值为________．解析：因为＝，又x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.答案：8．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时取等号成立．答案：29．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为________元．2解析：设池底的长和宽分别为a，b，则2ab＝8，ab＝4，总造价y＝(2a＋2b)×2×80＋120ab＝320(a＋b)＋480≥320×2＋480＝1760(当且仅当a＝b＝2m时取等号)．答案：176010．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b.又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴＋＋>a＋b＋c.11．已知a>b>0，求a2＋的最小值．解：∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤2＝.当且仅当a－b＝b，即a＝2b时，等号成立．∴y＝a2＋≥a2＋≥2＝16，当且仅当a2＝，即a＝2时，等号成立．故当a＝2，b＝时，a2＋有最小值16.12．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，求四周空白部分面积的最小值．解：设阴影部分的高为xdm，则宽为dm，四周空白部分的面积是ydm2.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56.当且仅当x＝即x＝12时等号成立．3
