第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>0解析: a-|b|>0,∴|b|
0,∴-a0.答案:D2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解析:f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)·(ex)'=(x-2)ex,令f'(x)>0,解得x>2,故选D.答案:D3.在等差数列{an}中,a5+a11=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:因为{an}是等差数列,所以a5+a11=a4+a12,所以a12=16-1=15.故选A.答案:A4.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.ab≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析:由a+b=2,可得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号. a2+b2=4-2ab,∴a2+b2≥2.答案:C15.已知实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1¿−(2x+1a)有最小值-1,则a=.解析:由f(x)=ax2-2x+a−1a有最小值,得a>0,其图象的对称轴为x¿1a,f(x)min=f(1a)=−1,即f(1a)=a·(1a)2−2×1a+a−1a=−1,即a−2a=−1,所以a2+a-2=0(a>0),解得a=1.答案:16.设p,q均为实数,则“q<0”是“关于x的方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的条件.(填“充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”)解析:因为q<0,所以Δ=p2-4q>0.所以“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.因为“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”,所以q<0.答案:充要7.设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a+1b+1c>√a+√b+√c.分析:解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.证明因为a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,所以1a+1b+1c=bc+ca+ab.又bc+ca≥2√bc·√ca=2√c,ca+ab≥2√ca·√ab=2√a,ab+bc≥2√ab·√bc=2√b,且a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不能同时成立.所以2(bc+ca+ab)>2(√c+√a+√b),即bc+ca+ab¿√a+√b+√c.故1a+1b+1c>√a+√b+√c.8.在△ABC中,三边a,b,c成等比数列.求证:acos2C2+ccos2A2≥32b.2证明 a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 左边=a(1+cosC)2+c(1+cosA)2¿12¿a+c¿+12¿acosC+ccosA)¿12¿a+c¿+12(a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2-a22bc)¿12¿a+c¿+12b≥√ac+b2=b+b2=32b=右边,当且仅当a=c时,等号成立,∴acos2C2+ccos2A2≥32b.9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.证明 a,b,c∈(0,+∞),∴a+b2≥√ab>0,b+c2≥√bc>0,a+c2≥√ac>0.又a,b,c是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a+b2·b+c2·c+a2>abc成立.上式两边同时取常用对数,得lg(a+b2·b+c2·c+a2)>lg¿abc),∴lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.能力提升1.若a,b,c是常数,则“a>0,且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3解析:因为a>0,且b2-4ac<0,所以ax2+bx+c>0对任意x∈R恒成立.反之,ax2+bx+c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0,且b2-4ac<0,反例为:当a=b=0,且c>0时也有ax2+bx+c>0对任意x∈R恒成立,所以“a>0,且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的充分不必要条件.答案:A2.在面积为S(S为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为θ,半径为r.当扇形的周长p最小时,θ,r的值分别是()A.θ=1,r¿√SB.θ=2,r¿4√SC.θ=2,r¿3√SD.θ=2,r¿√S解析:因为S¿12θr2,所以θ=2Sr2.又扇形周长为p=2r+θr=2(r+Sr)≥4√S,所以当r¿Sr,即r¿√S时,p取最小值,此时θ=2.故选D.答案:D3.★若O是平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足⃗OP=⃗OA+λ(⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|),λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:因为⃗OP=⃗OA+λ(⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|),所以⃗AP=λ(⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|).所以AP是△ABC中∠BAC的平分线.故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.答案:B4.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值为.4解析: sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,∴cos(α-β)=−12.答案:−125.已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1...
